부력 - 수험생 물리

물체의 3가지 상태 중 기체와 액체는 흐른다는 공통된 특징을 가지고 있습니다. 이 흐른다는 특징을 중심으로 살펴볼 때는 흐르는 물체라는 뜻의 유체(流體)라고 합니다. 보통 액체에 대해서 많이 설명하지만, 기체에서도 마찬가지 성질을 가지고 있습니다.

이글은 유체의 성질을 설명하는 글중의 가정 처음 만나는 글입니다. 그 주제로 부력에 대해서 설명합니다.

위 그림과 같이 물이 있고 어떤 임의의 경계면을 생각해봅시다. 질량을 무시할 수 있는 풍선 같은 것으로 생각해도 좋습니다. 그렇다면 우리가 아는 바와 같이 중력이 작용할 것입니다.(왼쪽 그림) 그럼 그 부분의 물이 힘을 받고 있지만, 아래로 내려가지 않고 제자리에 있을 수 있는 것은 오른쪽 그림과 같이 중력과 반대방향으로 힘을 받고 있기 때문입니다. ( 경계면 주변에 작은 화살표들은 경계면에서 받는 힘을 표시하고 있는데요. 이것은 나중에 설명하도록 하구요. 이런 작은 힘들이 합해져서) 큰 하나의 화살표 방향의 힘을 받는다고 생각하여야만 물이 제자리에 있다고 생각할 수 있습니다. 오른쪽 그림의 파란 화살표가 부력을 표시하는 것입니다. 힘의 방향은 중력의 반대방향이고 크기는 경계면 안의 물의 질량에 해당하는 무게와 같을 것입니다.

이 경계면안에 있는 모든 물을 빼어 내고 다른 물질을 집어 넣었다고 생각해 봅시다. 물질의 종류에 따라 중력의 크기는 바뀌게 되지만, 부력은 물이 작용하는 힘이라서 그 크기가 바뀌지 않게 됩니다.

중려의 크기를 살펴봅시다. 그림에서 우리가 잡은 경계면에 해당하는 부피를 $V$ 라고 한다면, 물질의 종류에 따라 밀도( $\rho$ )가 다르기 때문에 질량 $M = \rho V$ 은 물질의 종류마다 다르게 될 것입니다. 중력은 경계면 안에 해당하는 질량과 중력가속도의 곱인 $Mg = \rho V g$ 가 될 것입니다.

그러면 부력은 얼마일까요? a) 그림에서 보면 중력의 크기와 부력의 크기는 같습니다. 그래서, 액체의 밀도를 $\rho_{l}$ 이라고 한다면 중력의 크기는 부력의 크기와 같습니다. 부력은 $\rho_{l} V g$ 가 될 것입니다. 그리고 그 크기는 b), c) 그림에서도 동일합니다.

b) 그림과 같이 중력이 부력보다 작은 경우라면 그 물질의 밀도 $\rho \textless \rho_l$ 란 뜻일 것이구요. c) 그림과 같이 중력이 부력보다 큰 경우라면 그 물질의 밀도 $\rho \textgreater \rho_l$ 란 뜻일 것입니다.

b) 그림과 같은 경우라면 그 자리에 물질이 가만히 있을 수 없습니다. 위쪽 방향으로 더 큰 힘이 가해지므로 위로 올라갈 것입니다. 하지만, 영원히 올라가지는 못할 것입니다. ( 경계면 안의 부분의 물체는 딱딱한 물체라는 가정이 있습니다.)

위의 그림과 같이 어느 정도 떠 오르고 나면 부력이 처음보다 줄어들 수 밖에 없습니다. 액체 대신 차지 하고 있는 부분의 부피가 작아지기 때문에 부력이 작아지고 결국 물체의 중력과 같은 크기가 되는 위치가 있을 것입니다.

c) 그림과 같이 중력이 부력보다 큰 경우도 역시 그 자리에 물질이 가만히 있을 수 없습니다. 가라 앉게 될 것입니다. 영원히 내려가지 못할 것입니다. 왜냐구요? 바닥이 있잖아요…

물에 가라앉는 물체는 앞에서 살펴본 바와 같이 밀도가 $\rho > \rho_l= 1[g/cm^3]$ 인 경우입니다. 물의 밀도는 $1[g/cm^3]$ 입니다. 조심해야할 것은 단위가 kg, m 를 쓰지 않고 g, cm 를 쓰고 있다는 점입니다. 표준적으로 쓰고 있는 단위들로 바꾼다면 물의 밀도는 $1000[kg/m^3]$ 입니다. 보통 문제에서 힘을 구하라고 할 때는 단위를 신경써서 다루어야합니다.

속이 비어 있는 물체

쇠와 같은 금속으로 만들어진 물체는 밀도가 물보다 크기 때문에 다 가라앉습니다. 그러나, 밀도만으로 판단할 수 있는 것은 아닙니다.

위의 그림과 같이 쇠로 만든 물체가 가운데가 텅텅 빈 모양로 만든다면 중력은 텅텅 빈 부분은 중력에 영향을 안 줄 것이고, 껍데기에 해당하는 부분의 부피에다 쇠의 밀도를 곱한 양( 쇠의 질량) 만큼만 중력에 영향을 줄것입니다. 부력은 안이 텅텅 비었더라도 여전히 물을 대신하고 있는 부피만큼의 영향을 받습니다. 이런 경우라면 밀도가 높은 물질로 만든 물체도 부력이 중력보다 더 클 수 있습니다. 그렇다면 b) 그림과 같이 떠오를 수 있을 것입니다. 이게 쇠로 만든 배를 띄울 수 있는 방법입니다.

결국 중력은 $M g = \rho V_M g$ , 이 때 $V_M$ 는 물질이 있는 곳만을 따지지만, 부력은 $\rho V_l g$ , 이 때 $V_l$ 은 “액체가 있을 수 있었던 곳의 부피”를 말하는 것입니다.
속이 꽉 찬 물질이라면 $V_M = V_l$ 가 되겠지만, 배와 같이 $V_M \neq V_l$ 인 경우도 있으니까 주의하셔야 합니다. 또, 수면에 떠 있는 경우도 마찬가지로 $V_M \neq V_l$ 인 주의해야하는 경우입니다.

물이 차지하고 있었을 부피 = “액체가 있을 수 있었던 곳의 부피”

물을 용기에 가득 채우고 난 뒤 물체를 넣게 되면 물이 넘치게 되는데, 이 양이 물이 차지하고 있었을 부피가 됩니다. 복잡한 모양을 가진 물체의 부피가 얼마인지 계산하기 쉽지 않더라도, 이런 방법이면 쉽게 찾을 수 있을 것입니다. 역사적으로는 아르키메데스가 제일 먼저 생각해냈다고 알려져 있지요. ‘유레카~~’ 이야기는 대부분 알고 있을 거라 생각합니다.

기본 문제

1. 균일한 밀도의 구가 물에 떠 있는데, 그림과 같이 구의 중심의 위치가 수면과 같은 위치에 있다. 이 구의 밀도는 얼마인가? ( 물의 밀도는 $1g/cm^2$ )

풀이:
물체가 유체에 떠 있다는 것으로 보아, 밀도는 유체보다 작다.
구의 밀도를 $\rho$ , 구의 부피를 V, 중력가속도를 g 라고 하면 중력의 크기는 $m g = \rho V g$ 가 된다.
수면이 구의 중심의 위치와 같으므로 이 구가 물 대신 차지하는 부피(=”액체가 있을 수 있었던 곳의 부피”)는 구의 부피 V 의 절반인 V/2 된다. 물의 밀도를 $\rho_w$ 라고 하면 부력의 크기는 $\rho_w V/2 g$ 가 된다.
물체는 그 상태를 유지하므로 중력과 부력의 크기는 같을 것이므로 $\rho V g = \rho_w V/2 g$ 를 만족할 것이다.

$\rho = \rho_w / 2 = 1/2 [g/cm^2]$

2. 용수철 저울에 물체를 매달아 측정하니 20N 나왔다 이 물체를 물 속에 넣으니 16N 으로 측정되었을때 이 물체의 밀도는 얼마인가? ( 물의 밀도는 $1g/cm^2$ , 중력가속도 $g = 10 m/s^2$ )

풀이:

부력의 크기는 물체가 차지하는 부분(=”액체가 있을 수 있었던 곳의 부피”)의 물이 받는 중력과 크기가 같다.
부력의 방향은 중력의 반대 방향.

물체의 부피를 V, 물체의 밀도를 $\rho$ , 물의 밀도를 $\rho_w$ 라고 하면,
물 밖에서 용수철 저울의 값은 중력에 의해 $T_a = \rho V g = 20 [N]$
물 속에서는 용수철 저울의 값은 중력과 부력에 의해 $T_w = \rho V g - \rho_w V g = 16 [N]$

두 식의 관계에서 $\rho_w V g = 4 [N]$
$\rho = 5 \rho_w = 5 [g/cm^2]$

물체의 밀도가 물 밀도보다 작게 된다면 물체가 뜨게 되는데, 이 때 용수철 저울에서는 0 이 될 것이다. 용수철 저울값이 0보다 크다는 말은 물체의 밀도가 물의 밀도보다 더 크다는 의미가 된다.

기출문제

공무원 7급 국가직 물리학 개론 2017

유체의 성질에 대해서 다음 볼만한 주제는 파스칼의 원리 입니다

속이 비어 있는 물체

물이 차지하고 있었을 부피 = “액체가 있을 수 있었던 곳의 부피”

기본 문제

기출문제

관련