복사는 열을 전달하는 3가지 방법 (전도,대류,복사) 중 하나입니다. 복사는 전도나 대류와는 달리 아무런 물질이 없어도 열을 전달 할 수 있습니다. 아무런 물질이 필요 없는 것은 매질이 필요없는 빛을 이용하여 에너지를 전달하는 방식이기 때문입니다. 빛도 파동 현상 중 하나라고 배웠으므로 빛도 에너지를 전달합니다. 복사는 빛을 통해 아무런 물질을 거치지 않고 직접 에너지를 전달하는 방법입니다.
빛이 물체에 닿게 될 때 일어나는 일이 좀 복잡하긴 합니다. 하지만, 흑체 복사는 기본적인 점만 조금 알고 나면 이해할 수 있습니다. 시험에서는 자세히 알 필요없이 몇몇 관계식만 외우면 문제를 풀 수도 있겠지만, 여기서는 흑제 복사를 제대로 알고 싶은 분을 위해 설명합니다.
빛의 반사,흡수,투과
물체에 빛을 비추어 주면 물체의 표면에서 일부는 반사하지만, 일부는 물체 안으로 들어갑니다. 그렇게 물체에 들어간 빛은 물체에 흡수가 되지만, 물체가 얇은 경우에는 모두 흡수되지 않고 일부는 남아서 밖으로 나오게 됩니다. 빛이 물체에 흡수되지 않고 남은 양이 통과하는 것을 투과라고 합니다.
처음에 비추어준 빛의 에너지 양을 E 이라고 하고 반사, 흡수, 투과 한 빛의 에너지양을 각각 R, A, T 라고 한다면 E = R + A + T 가 됩니다.
거울 처럼 거의 대부분의 빛을 반사하는 경우(E ~ R)라면 물체안에 빛이 들어가고 통과해서 나오는 것을 거의 보기 어려울 것입니다. ( A + R ~ 0 )
일반적인 유리의 경우, 우리가 볼수 있는 파장의 빛(가시광선)을 쪼여주면 일부 반사하지만, 거의 흡수하지 않고 (A~0) 대부분은 투과합니다. ( E ~ R + T )
도자기로만든 접시가 불투명해보이지만, 밝은 빛을 비추어 보면 약간의 투명한 느낌이 남아 있는 것을 알 수 있습니다. 일부는 반사하고 나머지는 중 거의 대부분은 흡수하지만, 투과 되는 양은 아주 조금이 됩니다. (E ~ R + A, T ~ 0 )
그러나, 우리 주변의 대부분의 물체는 밝은 빛을 비추어 주어도 완벽할 만큼 빛을 다 가립니다. (뒤에 그림자가 생깁니다.) 즉, 일부는 반사, 나머지는 흡수하지만, 투과되는 양은 없습니다 ( T = 0 , E = R + A ) 물론 이런 물체도 아주 얇다면 미쳐 흡수되지 못하고 투과될 수 있습니다. 빛이 투과되는지 아닌지를 결정하는 것은 물질이 얼마나 빛을 잘 흡수되는가, 얼마나 두꺼운가에 달렸습니다.
단순한 것을 이렇게 길게 이야기한 것은 어느정도 두께를 가진 물체에 빛을 비추면 투과가 일어나지 않고, 반사와 흡수만 생각하면 된다는 이야기를 하고 싶었던 것입니다. 지금부터는 반사와 투과만 생각하면 될 만큼 두툼한 물체에 대해서 이야기합니다.
흑체
빛의 파장이 어떻든 상관없이 모든 빛을 흡수하는 이상적인 물체를 흑체(black body)라고 합니다. 반사되는 빛이 없으므로 까맣게 보일 것이므로 흑체란 이름이 전혀 이상한 것은 아닙니다.
물체 외부에서 물체로 빛을 비추게 되면 일부는 반사하고 일부는 흡수하지만, 흑체는 전혀 반사하지 않고 100% 흡수하는 물체를 말합니다. 아무래도 표면이 까만색인 물체가 흑체에 가까울 수 있겠지만, 보통 까만색인 물체도 어느 정도 빛을 반사합니다. 정말 100% 빛을 흡수하여 까맣게 된 물체라면 빛이 들어오지 않는 방안에서 우리가 눈을 감았을때 느끼는 까만색처럼 보여야 합니다. 실제로는 물체의 어느정도의 윤곽이 보인다는 것은 일부는 반사되고 있다는 말입니다.
검은색이 흰색보다 빛을 더 잘 흡수한다는 것을 실제로 실험하는 동영상
( 제목은 열의 복사실험 인데 실제는 빛의 흡수 실험이 더 알 맞은 제목입니다. ㅋㅋ 양초에서 나온 빛에는 눈에 보이지 않는 적외선이 아주 많이 포함되어 있습니다. )
빛의 흡수와 복사
흑체가 까만것은 외부에서 물체에 빛을 비추었을 때의 일을 이야기한 것이고 이제는 ‘물체에서 빛이 나오는 현상’을 이야기하려고 합니다. 반사는 물체에 빛을 비추어 주었을 때 이야기를 하는 것이고 이제는 빛이 하나도 들어오지 않는 깜깜한 방안에서 물체를 두었을 때도 그 ‘물체 자체에서 빛이 나오는 현상’을 말하려고 합니다. 그것을 ‘복사’라고 합니다. 흑체에서도 빛이 나오는 현상이 있는데도 까맣게 보이는 것은 나중에 설명하기로 하고 일단 정말로 물체에서 빛이 나오는 현상, 즉 복사 현상이 있는 것일까에 대해서 먼저 확신을 가져 보려고 합니다.
흑체가 빛을 모두 흡수한다는 것은 에너지를 흡수하는 것입니다. 그렇게 에너지를 흡수하는 물체라면 아무리 작은 양이라고 수십년 수백년 조금씩 에너지가 축적이 되면 물체의 온도는 올라 갈 것dl고, 그 물체는 점점 더 온도가 올라가면 결국 무한대의 온도를 가질 것입니다. 그것이 흑체가 아니라 흑체 비슷한 것이라고 해도 시간이 더 오래 걸리는 것 말고는 결국 흑체랑 다를 바가 없으니 우리 주변의 검은색 물체는 모두 무한대의 온도는 아니더라도 아주 온도가 높아야 하는데 실제로는 그렇게 뜨겁지 않은 것을 보면 빛을 받아서 에너지를 얻기도 하지만, 에너지를 다시 내어놓는 일도 있다는 뜻입니다.
에너지를 내어 놓는 비율을 \( \epsilon \), 흡수하는 비율을 \( a \) 라고 합시다. 이상적인 흑체는 \( a \) = 1 (100%) 인 물체를 말합니다. 앞에서 말한 것은 \( \epsilon \) 이 1보다 조금이라고 작다면 빛을 비추어주면 비추어준 빛의 총 에너지량에서 \( a – \epsilon \)만큼 쌓여서 점점 더 뜨거워지게 된다는 말이며 결국, 무한대의 온도를 가지는 일이 일어날 것이란 주장입니다.
굳이 흑체가 아닌 일반 물체라고 하면 비추어준 빛의 일부는 반사를 하게 되므로 흡수하는 비율이 \( a \) < 1 보다 작을 것이므로 0.7 이라고 합시다. 만약 \( \epsilon \) 이 0.7보다 작은 0.6 이라고 하면 \( a – \epsilon \)의 비율인 0.1 만큼씩은 에너지가 쌓여서 그 물체는 아주 뜨거워 질 것입니다. 반대로 \( \epsilon \)가 0.7 보다 큰 0.75라고 합시다. \( \epsilon – a \)의 비율인 0.05만큼 에너지가 줄어들면서 결국 아주 차거워져 0K 가 되어야 합니다. 그런데, 우리 주변에 그런 물체를 본적이 없다는 말은 결국 \( a = \epsilon \) 이란 말입니다. 흑체라면 \( a \)=1이므로 \( \epsilon \)= 1 인 게 분명하다는 말입니다.
이런 말을 들으니 마치 사기 당하는 느낌도 있겠지만, 이 말이 틀렸다면 주변에는 아주 뜨거운 물체와 아주 차가운 물체들로 가득차 있어야한다 결론에 도달합니다. 그런 거 본적 없으니 \( a = \epsilon \)란 걸 믿을 수 밖에 없단 말입니다. 즉 빛을 잘 흡수하는게 방출도 잘하고, 잘 흡수 못하는게 방출도 잘 못한다는 것입니다. 느낌은 전혀 그렇지 않지만, 우리가 그렇게 느끼는게 틀렸다는 것이죠.
다시 정리하면 흑체는 \( a = \epsilon = 1 \), 일반 물체는 흑체는 \( a = \epsilon < 1 \). 모든 물체는 \( a = \epsilon \) 이란 것이고, 이값이 1과 같으면 흑체, 아니면 일반 물체라는 것입니다. 이 사실을 잘 알고 있다면 이제는 흑체에 대해서만 다루도록 하겠습니다. 나머지 일반 물체는 흑체 성질에서 일반 물체는 1보다는 작은 \( a = \epsilon \) 을 곱한 것으로 생각하면 알 수 있기 때문입니다.
물체 외부에서 빛을 쪼여서 나타나는 반사, 흡수는 사실 빛의 파장에 따라 특성이 다양합니다. 이것에 대해서는 어려운 주제이니 더 이상 신경쓰지 말고 이제부터는 물체에서 빛이 나오는 복사에 대해서 더 열심히 알아봅시다.
그럼 현실에서 흑체를 만드려면
빛을 100% 흡수하는 물체를 만드려면 물질의 특성 자체가 빛을 100% 흡수하게 만들어야 합니다. 빛을 전혀 반사하지 않는 물질을 찾는 것과 같습니다. 이렇게 만드는 연구도 많이들 진행하는데, 이런 물질을 ‘super-black’ 이라고 합니다. [위키피디아] 를 참고하시면 최근까지의 대략의 연구 결과를 알 수 있습니다.
아래 그림은 한 예입니다.
> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vantablack_01.JPG 를 참조하십시오.
[동영상] 도 참고 할 만 합니다.
글의 앞부분에서 빛을 100% 흡수하게 되면 물체의 윤곽을 전혀 알아 볼 수 없다는 말이 무슨말인지 실감이 날 것입니다. 알루미늄 호일이 구겨져 있지만 검은 부분에서는 전혀 알 수 없으며, 동영상처럼 마스크위에 super-black 물질을 발라두면 마스크 윤곽을 알아 볼 수 없습니다. 우리가 평소에 보는 검은색은 빛을 제법 많이 반사한다는 말을 실감할 수 있을 것입니다.
이렇게 물질의 자체에 특성이 빛을 잘 흡수하는 것을 찾은 것은 그래도 최근 일이며 100여년 전에는 이런 물질들이 없어서 반사하는 성분이 많은 물질을 이용할 수 밖에 없었습니다. 그래서, 흑체에 대한 연구를 하기 위해서는 물체의 모양을 이용하였습니다. 100% 빛을 흡수한다는 말은 한 번 들어간 빛이 절대 못 나오도록 만드는 것과 같습니다. 아래 그림과 같은 구조를 말합니다.
> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Black_body_realization.svg 를 참조하십시오.
[현실에서 흑체를 만드는 법] Fig. 6.1.1 도 참고할 만 합니다.
빛을 반사하는 특징을 가진 물질을 이용하더라도 이런 구조를 가지고 있다면 한 번 들어간 빛은 다시 빠져나오는 일은 없을 것입니다. (100%에 가깝게 흡수할 것입니다.) 예를 들어 10%쯤 반사 하고 90%쯤 흡수하는 물질로 만들었다고 합시다. 들어 온 빛이 한 번 반사하면 처음에는 90%가 흡수되고 10%가 반사되지만, 그 때 반사한 빛이 다시 두번째로 물체에 닿을 때는 그 10%의 90%도 흡수합니다. 벌써 처음 들어갈 때의 99%를 흡수합니다. 10번만 반사해도 99.99999999%는 흡수하게 될 것입니다. 아주 흑체에 가까운 물체가 되는 것입니다. 지금은 흡수의 측면만 생각했지만 앞에서 말했다시피 흡수를 잘하는 것은 방출을 잘하는 것이란 것을 잊으면 안됩니다. 흑체 복사를 연구하려면 이렇게 만든 물체의 조그만한 구멍에서 나오는 빛이 어떤 특성을 가졌는지 연구하면 됩니다.
흑체 복사
지금까지 이야기 한 것 중에서 흑체에서 나오는 빛에 대해서 이야기합시다. 이것이 흑체 복사입니다.
흑체 복사로 나온 빛의 파장은 얼마일까요? 흑체가 까맣게 보이는 걸로 봐서는 이게 가시광선이 아닌 것은 분명합니다. 물체에서 빛이 나온다는 것이 논리적으로 그럴싸해도 실제도 잘 받아들여지지 않는 이유가 바로 눈에 보이는게 없기 때문입니다. 하지만, 엄청나게 온도를 올리면 이제 상황이 바뀝니다.
흑체는 아니지만 쇠덩이가 있다고 합시다. 이게 반짝거리는 것은 빛이 반사되어서 그렇게 보이는 것입니다. 들어온 빛의 대부분은 반사를 합니다. 평소에 이 쇠덩이를 보이는 것은 흑체복사를 눈으로 보는 것은 아닙니다. 빛이 하나도 안들어 오는 방안에 넣어 두면 반사되는 빛이 없어 쇠덩이 어디 있는지 보이지 않을 것입니다. 그러나, 빛이 하나도 없는 방안에서도 쇠를 가열하면 빨갛게 변하게 됩니다. 그렇게 나온 빛은 워낙 밝아서 굳이 빛이 하나도 없는 방을 만들 필요도 없습니다. 다음 그림과 같이 쇠덩이에서 빛이 나오는 것을 볼 수 있습니다.
> [POSCO 홍보영상] 에서 허락 없이 일부를 가져왔습니다.
흑체복사를 이렇게 멀리서 찾을 필요가 없습니다. 고기 구울 때 빨간 숯을 본적 있을 것입니다. 낮은 온도에서 숯은 검은색을 띱니다. (이건 제법 흑체와 비슷하겠군요.) 그러나, 온도를 올리게 되면 숯이 빨갛게 보이는 것도 뜨거운 숯이 내어 놓는 빛을 보는 것입니다. (복사현상을 보는 것입니다.)
흑체 복사로 나오는 빛의 에너지량은 오로지 온도에만 의존합니다.
> 이것도 증명이 가능합니다만, 어려울 수도 있고, 내용이 길어지니 요청하는 분이 있을때 별도로 다루겠습니다.
흑체 복사 현상에서 온도에 따라 흑체의 색깔이 다르게 됩니다.
> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Color_temperature_black_body_800-12200K.svg
를 참조하세요.
우리가 미술시간에 배운 따뜻한 것 빨간색, 차가운 것 파란색과는 반대입니다. 뜨거운 것이 파란색, 중간은 흰색, 차가운 것이 빨간색입니다. 더 차가우면 눈에 안보이는 빛(적외선)이 나옵니다. 반사도 없고, 복사한 빛도 눈에 보이지 않으므로 물체는 까맣게 보입니다. 가열하지 않은 숯의 경우 까맣게 보이지만, 그래도 눈에는 보이지 않는 적외선이 나오고 있다는 말입니다.
색깔을 비교해 보니 posco 쇳덩이의 온도는 대략 1000K 쯤 될 것입니다. POSCO 직원분은 워낙에 온도를 많이 측정하면서 보았기 때문에 이 색깔만 보면 몇도인지 10도 범위내로도 맞출듯합니다.
이 색깔은 ‘색온도와 화이트밸런스’를 이해하는 데, 지구 과학 시간의 ‘별의 온도’를 이해하는 데 도움이 됩니다.
디지털카메라에서 색온도나 화이트밸런스란 용어를 본 적이 있을 것입니다. 사람이 색깔을 받아들이는 것은 아주 복잡한 문제들도 함께 가지고 있는데 그 중 하나가 흰색을 인식하는 문제입니다. 흰종이를 다양한 조명아래에서 카메라로 찍어서 서로 비교하면 분명히 다른 색깔을 띄게 됩니다. 녹색 조명아래에서는 녹색, 노란 조명아래에서는 노란색으로 나타납니다. 그러나, 사람이 흰색을 인식할 때에는 주변 조명에 따라 착각을 잘 합니다. 그래서, 흰종이를 백열등 아래서 보는 것과 형광등 아래에서 볼 때 분명히 다른 색깔인데도 그냥 같은 흰색이라고 인식하는 문제가 있습니다. 그래서, 조명에 따라 진짜 기계가 측정하는 색깔이 다르지만 사람이 느끼는 것처럼 바꿔주는 변환을 하는 것을 화이트밸런스라고 합니다. 그 때 주변 조명의 색깔이 어떤 것인가를 알려 주어야하는데요. 그 주변 조명의 색깔이 흑체가 몇도의 온도를 가진 것과 같은가(색온도)를 이용합니다. 조명의 색깔이 4000K 흑체와 같다라면 색온도가 4000K 인 것을 흰색으로 파악하여 사진의 색깔을 변환합니다. 그 색온도의 숫자는 바로 위에서 보는 그림의 온도에서 온 것입니다.
지구과학시간에 별의 색깔을 알면 별들의 온도를 찾을 수 있다고 배웁니다. 아래는 오리온 별자리를 찍은 사진입니다.
자세히 보면 별마다 색깔이 조금씩 다른 것을 볼 수 있습니다. 그래서 위의 그림의 색깔과 온도값을 비교하면 별의 온도를 알 수 있습니다. 태양 표면 온도가 5,778K 라는 것도 이 색깔을 이용한 것입니다.
> 별이든 조명이든 흑체가 아닌데 왜 흑체복사를 이용해 설명할까요? 앞에서 말한 것과 같이 흑체와 일반 물체의 에너지 방출량의 값은 다릅니다. 그러나, 파장별 에너지의 비율은 동일하므로 흑체복사랑 비교해도 색깔이 다를 일은 없습니다.
흑체 복사 에너지 분포
무지개 색깔에 흰색은 없습니다. 원래 흰색 빛이란 것은 여러가지 색깔의 빛이 합쳐져 있는 것입니다. 태양빛을 나누면 무지개로 보인다는 것은 이미 잘 배워서 알고 있을 것입니다. 흑체의 색깔이 흰색이라고 하면 이것도 역시 단일의 파장이 아니란 말입니다. 마찬가지로 빨간색, 파란색인 것도 사실은 단일의 파장이 아니라 여러 파장의 빛이 들어와서 섞여 있는 것입니다. 그것을 파장 별로 (또는 진동수 별로) 크기를 측정할 수도 있습니다. 뿐만 아니라, 우리눈에 보이지 않는 적외선, 자외선도 기계를 이용한 측정이 가능합니다.
빨간색 바깥인 적외선, 파란색 바깥인 자외선은 눈에 보이지 않으니 우리가 색깔을 인식하는데는 영향을 주지 않습니다. 눈에 보이는 가시광선만 가지고 그 비율이 어느쪽이 많은가에 따라 빨간색, 흰색, 파란색으로 보이는 것입니다.
그 값을 그래프로 그리면 다음과 같습니다.
> 이 그림의 저작권에 관해서는 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Black_body.svg 를 참조하세요.
먼저 가로축을 유심히 보아야합니다. 어떤 자료는 파장이지만, 어떤 자료는 진동수일 수 있습니다.
세로축의 단위를 보면 아주 복잡합니다. 이걸 직접 묻는 일은 거의 없을 테니 설명은 생략합니다.
> 아주 복잡한 값인 것은 맞습니다. 이렇게 말하는 것은 쉽게 설명하고 이해하기 어렵다는 말입니다.
무지개 색깔을 칠해놓은 것이 우리가 눈으로 색깔을 인식하는 부분입니다. 유심히 보야야하는 것이 그래프의 최대값입니다. 온도가 올라갈 수록 그래프 꼭대기(최대값)가 있는 파장값(가로축)은 짧아집니다. 또한, 온도가 올라갈 수록 그래프가 차지하는 면적이 엄청나게 커집니다. 이 두가지 특징을 각각 빈의 변위법칙, 슈테판 볼츠만의 법칙이라고 합니다. (좀있다가 다시 보겠습니다.)
지금은 이 그래프로 앞에서 본 색온도를 설명할 수 있어야 합니다. 그런데, 여기 그림이 적절하지 않아서 [다른 그림 Star Temperatures ] 을 추천합니다. 4000 red star, 5270K white star, 7000K blue star 라고 하는 것이 색 온도를 말합니다. 각각의 그래프를 보면 4000K에서는 붉은 색쪽이 양이 더 많고, 7000K 는 파란색이 더 많습니다. 5270K 는 빨간색과 파란색이 어느 정도 균형이 잡혀 있습니다. 온도가 올라가면 최대값이 점점 파란색쪽으로 옮겨가면서 빨간색에서 흰색, 파란색을 거치는 색온도를 가지게 된다는 것을 알 수 있습니다.
백열전등의 경우 거의 노란색에 가깝습니다. 대략 4000K red star 랑 유사하다고 생각해볼 수 있을 텐데요. (실제는 이보다 낮습니다.) 그래프 아래쪽 면적을 비교해보면 가시광선이 차지하는 비중이 얼마되지 않습니다. 가시광선에 해당하는 부분 아래의 면적은 눈에 보이는 빛이 내어놓는 에너지, 전체의 면적은 전구가 내어 놓는 총에너지입니다. 백열전등이 빛을 내기 위해서는 눈에 보이지 않는 빛에서 많은 에너지를 사용합니다. 에너지 보존 법칙을 생각하면 우리가 백열전등에 공급하는 총에너지가 바로 전체 복사에너지가 될 텐데, 빛으로 내어놓는 에너지가 얼마되지 않습니다. 그래서, 백열전등이 효율이 나쁜 전등이라고 하는 것입니다. (대략 5% 정도라고 하네요.)
빈의 변위 법칙
위에서 본 그래프는 파장에 따른 복사에너지 세기를 표현한 것입니다. 온도가 올라 갈수록 가장 세기가 센(에너지를 많이 내어 놓는) 파장이 짧아진다는 사실을 빈(Wien) 의 변위법칙( displacement law)라고 합니다. 흑체의 온도가 올라갈수록 복사에너지가 가장 큰 파장은 적외선, 빨간색, 노란색, 파란색, 보라색, 자외선의 순서로 점점 파장이 짧아지는 법칙입니다. (빛은 파장이 짧아질 수록 진동수가 커집니다.)
대략 \( \lambda T = 2.898 \times 10^{-3} m \cdot K \) 의 관계를 가지고 있다는 말입니다. T는 온도로 당연히(?) 절대 온도입니다.
섭씨 700 정도 되면 절대온도로 약 1000K 정도 되므로 가장 많은 에너지를 내어 놓는 파장 \( \lambda = 2.898 \times 10^{-3} / T \) [m]가 될 것이므로 대략 3um 가 된다는 말입니다. 빨간색이 0.6um 정도 되므로 이보다는 파장이 긴 적외선임을 알 수 있습니다.
> 숫자를 이렇게 대략적으로만 계산하는 것은 그냥 감을 가지자는 의미입니다. 물리 연구하는 사람들은 먼저 빠르게 대략적인 값을 먼저 확인합니다.
위에서 1000K는 빨간색이라고 하지 않았나요? 라고 반문하시는 분은 다시 주의해서 글을 읽어야 합니다. 빈의 변위 법칙을 말하는 지금은 가장 에너지가 많이 나오는 파장이 적외선이란 말입니다. 이 파장 뿐만 아니라 그보다 작은 에너지를 내어놓는 여러 파장의 빛도 나오고 있습니다. 우리는 그런 빛을 다 모아서 한꺼번에 바라보기 때문에 빨간색으로 보게 됩니다.
절대온도로 약 6000도 정도 되면 파장이 대략 6배 짧아 질 것이므로 0.5um 쯤 됩니다. 파란색에 가까운 색깔을 내는 파장일 것입니다. ( 그러나, 모든 파장의 빛을 한꺼번에 다 모아서 바라보면 거의 흰색에 가깝습니다. )
슈테판 – 볼츠만 법칙
슈테판-볼츠만 법칙은 온도 T인 흑체에서 내어 놓는 단위 시간, 단위 면적당 에너지는 \( \sigma T^4\) 이고, \( \sigma = 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4} \) 이 되더라는 것입니다. 물론 단위는 무척 복잡합니다. 단위 시간, 단위 면적이란 말이 들어 가면서 그렇게 복잡해 졌습니다. 대략적으로 위에서 본 그래프를 파장으로 적분한 값이 \( T^4 \) 비례한다는 결과입니다. 시험에서는 동일한 크기, 시간 동안 흑체에서 내어 놓는 에너지는 \( T^4 \) 에 비례하더라는 결과가 중요합니다.
지구과학시간에 별의 광도는 그 별이 내어놓는 에너지를 말하는데, 슈테판-볼츠만의 법칙으로 찾아 낼 수 있습니다. 또, 광도를 이용하면 별의 크기를 구할 수도 있다는 것도 지구과학 책을 잘 뒤져보면 나옵니다. 어쨋든, 멀리 떨어져 있는 별에 대한 정보를 알아내는데 사용됩니다.
흑체 복사 분포를 수식으로 표현하면
슈테판, 볼츠만, 빈 등이 열심히 흑체에 대한 연구를 해서 일정한 법칙도 찾아내었습니다. 전체적인 모든 것을 알 수 있는 것은 처음에 살펴본 에너지 분포 그래프입니다.
단위도 무지 이상하고 이상한 기호도 많이 들어 있습니다. 직접 시험문제로 물어 보지는 않을 것이니 걱정할 필요는 없습니다. 앞의 두 법칙을 잘 설명하기 위해서 보여드리는 것입니다.
처음에 본 에너지 분포 그래프는
\( u(f) = \frac{8\pi h f^3}{c^3} \frac{1}{e^{hf/kT}-1} \)
이런 모양을 가지고 있습니다. 여기서 f 는 진동수, h 는 플랑크 상수, c 는 빛의 속력, k 는 볼츠만 상수, T 는 절대 온도 입니다.
여기서 에너지가 최대가 되는 파장 (진동수)를 찾는 것은
\( \frac {du(f)}{df} = 0 \) 이 되는 f를 찾는 것입니다.
직접 계산하면 아주 복잡한 모양을 가지고 있는데, 대략적인 모양이 빈의 변위법칙과 같습니다.
에너지 분포를 진동수로 적분하면
\( \int_{0}^{\infty} u(f) df = \frac{8\pi^5 k^4 }{15 c^3 h^3} T^4 \)
이라는 복잡한 값이 나옵니다. 이것이 슈테판 볼츠만 법칙입니다. 슈테판 볼츠만 법칙의 \(\sigma \) 값이 \( \frac{8\pi^5 k^4 }{15 c^3 h^3} \) 과 같음을 알 수 있습니다.
기존의 알고 있는 지식에 잘 들어 맞는 이 에너지 분포식은 플랑크가 찾았는데, 아주 엄청난 가정을 하고 있습니다. 그렇기 때문에 물리시간에 현대물리/양자역학을 배울 때 처음에 다루는게 되는 주제가 되었습니다.
플랑크 이전에는 레일리(Rayleigh)와 진(Jeans)가 기존에 알고 있는 모든 지식을 동원해 계산을 해서 주장한 에너지 분포는 파장이 좀 짧은 곳에서나 조금 맞을 뿐 너무 안 맞는 것이었습니다. 그러니, 뭔가 우리가 알고 있는 지식에 큰 문제가 있다는 사실은 알고 있었습니다. 그러던 중 플랑크가 엄청난 가정 하나를 하고 문제를 풀어 보았다는 것입니다. 그 엄청난 가정은 다음과 같습니다.
플랑크 상수
” 빛은 하나씩 셀 수 있는 불연속적인 에너지를 가지고 있다고 하자.”
이렇게 불연속적 값을 취하는 것을 양자화라고 합니다. 플랑크는 빛의 에너지를 양자화했습니다. 즉,
빛의 에너지는 진동수에 비례하며, E 는 hf 의 배수로 이루어져 있다는 생각을 도입하여 위의 에너지 분포식을 찾아 내었습니다.
여기서, \( h = 6.626 \times 10^{-34} J s \) 입니다. 진동수를 곱하면 에너지가 나와야 하므로 단위 \( J s\) 는 일의 단위 J 와 시간의 단위 s(초)입니다. h 를 플랑크 상수라고 합니다.
> 우리 주변이 연속값인데 어떻게 불연속이냐고 따지지 맙시다. 우리 주변이 아날로그값이지만 디지털로 변환한 컴퓨터 데이터로도 잘 살고 있습니다. 물리에서도 불연속한 값이 아주 작은 값이라서, 웬만한 부분에서는 아무 문제 없이 세상은 잘 돌아갑니다.
이후 주제에서는 플랑크의 이런 생각이 역사적으로 점점 어떻게 응용되는지를 보게됩니다. 여러분도 이제 양자역학에 대한 첫 발걸음을 딛게 되었습니다. 다음주제는 플랑크의 생각을 응용한 것으로 [광전효과] 라는 것입니다.
문제 풀어보기
후기
EBS 수능 문제를 볼 수 있는 방법을 찾았습니다. 그러면서 문제를 보았더니 제가 수준이 높을까 싶어서 일부러 설명하지 않는 것도 문제로 나오고 있네요… 글을 좀 더 수정해야겠습니다. 이렇게 어렵게 내니 수능에서 물리를 선택안하지… 라고 생각할 수 밖에 없네요. 대학생보다 더 어려운 걸 공부하는 고등학생 여러분 모두 파이팅!!
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