질량 중심 - 수험생 물리

질량중심에 대해서 이야기하는 필요성을 먼저 느껴야 할 것 같아 일단 동영상을 한 번 보고 이야기를 시작하겠습니다.
제가 딱 필요하다고 생각했던 그런 동영상인데, Peter Beyersdorf (San Jose State University) 교수님이 만들고, Alejandro Garcia 씨가 올렸습니다. 이 글을 못 보시겠지만 감사드립니다.

이 동영상을 보면 테니스채로 보이는 물건이 총 4번 날아갑니다.
첫번째는 아무런 표시 없이
두번째는 테니스채의 손잡이쪽 끝부분이 날아가는 궤적을 표시하면서
세번째는 테니스채의 어떤 부분이 날아가는 꿰적을 표시하면서
네번째는 테니스채를 쫒아가면서 보여주고, 손잡이 끝부분을 빨간색으로 궤적을 표시하고 있습니다.

우리는 F = ma 를 배웠기 때문에 힘이 어떻게 주어졌는지 알면 물체의 운동을 잘 예측할 수 있을 것 같지만, 상황에 따라서 복잡한 것들이 많이 있습니다. 그 복잡한 상황에서 문제를 단순하게 만드는 새로운 개념을 배우려고 합니다. 이 글에서는 동영상의 테니스채 던지기 첫번째와 세번째만 이야기 합니다. 첫번째는 아무런 궤적 표시 없는 경우이고, 세번째는 궤적 표시를 하는 것입니다. (세번째 영상은 첫번째 던져진 영상에 궤적 표시만 한 것입니다.)

테니스채가 날아가는 것을 보면 아주 복잡하게 움직이는 것으로 보입니다. 중력이 있는 곳에서 물체를 던지면 포물선운동을 한다고 했는데, 그 포물선 운동이 전혀 보이지 않습니다. 하지만, 이렇게 복잡한 운동 속에서도 적용되는 법칙은 단 하나 F = ma 입니다. 그럼 포물선 운동은 어디에 있나요?

바로 세번째 화면에서 보여주는 노란선입니다. 세번째 화면에서는 분명 포물선 운동이 보입니다. 포물선 운동을 하는 것으로 보이는 그 점은 테니스채의 어떤 부분을 따라가면서 그린 것입니다. 테니스채의 그 어떤 부분이 바로 질량중심이라고 말하는 점입니다.

우리가 관심을 가지고 지켜보는 물체가 한 점에만 몰려있고 외부에서 작용하는 힘은 그 점에만 작용하는 것처럼 볼 수 있는 그 점을 질량 중심(center of mass)이라고 합니다.

다시 표현해보면 테니스채의 질량과 같은 쇠구슬을 만들고, 테니스채의 질량중심 위치에 쇠구슬이 있다면, 테니스채의 질량 중심이 운동하는 궤적과 쇠구슬이 운동하는 궤적이 완전히 같아진다는 뜻이기도 합니다.

이런 아주 특별한 점을 잘 정의해두고 이용하면 물체의 운동을 기술하기도 편하고 어떻게 운동할지 예측하기도 편합니다. 물론 이런 특별한 점을 찾는 법은 쉽지 않을 수도 있습니다. 지금부터는 수학을 이용해서 그 특별한 점을 찾는 법을 말하려고 하니까요.

입자계 (system of particles)

여기서 입자는 질량을 가진 점을 말합니다. 여러개의 입자가 있을 때 어떻게 구하는지 먼저 살펴보겠습니다. 일단은 한 직선 x축 위에 있는 경우를 먼저 살펴 보겠습니다. 그리고, 입자의 갯수도 2개만 있을 때를 생각해보겠습니다.

두 입자가 질량이 m 으로 같고, 위치가 0 , 10 이라고 합시다. 질량 중심은 위치입니다. 그러면 딱 가운데인 5 가 질량 중심이 됩니다. 하나는 질량이 $m_1$ , 위치가 0, 또하나는 질량이 $m_2$ , 위치가 10 라고 하면, 질량 중심은 $\displaystyle x_{cm} = \frac{ 0 \cdot m_1 + 10 \cdot m_2 }{m_1+m_2}$ 입니다.

두 입자가 질량이 m 으로 같고, 위치가 -10 , 10 이라고 합시다. 질량 중심은 위치입니다. 그러면 딱 가운데인 0 가 질량 중심이 됩니다. 하나는 질량이 $x_1$ , 위치가 -10, 또하나는 질량이 $x_2$ , 위치가 10 라고 하면, 질량 중심은 $\displaystyle x_{cm} = \frac{ -10 \cdot m_1 + 10 \cdot m_2 }{m_1+m_2}$ 입니다.

두 입자가 질량이 m 으로 같고, 위치가 $x_1$ , $x_2$ 이라고 합시다. 질량 중심은 위치입니다. 그러면 딱 가운데인 $\displaystyle \frac{x_1 + x_2}{2}$ 가 질량 중심이 됩니다. 하나는 질량이 $m_1$ , 위치가 $x_1$ , 또하나는 질량이 $m_2$ , 위치가 $x_2$ 라고 하면, 질량 중심은 $\displaystyle x_{cm} = \frac{ x_1 \cdot m_1 + x_2 \cdot m_2 }{m_1+m_2}$ 입니다.

감이 오시나요? 두 입자의 위치를 질량 가중치를 주는 평균 위치입니다.

입자가 세개면
$\displaystyle x_{cm} = \frac{ x_1 \cdot m_1 + x_2 \cdot m_2 + x_3 \cdot m_3}{m_1+m_2+m_3}$
입자가 n 개면
$\displaystyle x_{cm} = \frac{x_1 \cdot m_1 + x_2 \cdot m_2 + x_3 \cdot m_3 + \cdots + x_n \cdot m_n }{m_1+m_2+m_3+ \cdots + m_n}$

분모에 해당하는 값은 모든 입자의 질량을 다 더한 값입니다. 계의 질량이라고 말해도 될 것 같군요. $M = m_1+m_2+m_3+ \cdots + m_n$ 이라고 따로 써도 되겠습니다. 그러면
$\displaystyle x_{cm} = \frac{x_1 \cdot m_1 + x_2 \cdot m_2 + x_3 \cdot m_3 + \cdots + x_n \cdot m_n }{M}$
이라고도 쓸 수 있습니다.
좀더 어려운 기호로 쓰면 $\displaystyle x_{cm}= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot m_i}{M} = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot m_i$
이 됩니다.

x축만 따졌는데, y축, z 축도 같은 방식이 적용됩니다.
$\displaystyle x_{cm}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot m_i$
$\displaystyle y_{cm}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} y_i \cdot m_i$
$\displaystyle z_{cm}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} z_i \cdot m_i$

강체 (solid body)

강체는 조그만한 질량을 가진 입자들이 모여 덩치를 가진 물체로 상대적인 위치가 변하지 않는 경우를 말합니다. 보통의 물체를 생각하면 됩니다. 쇠구슬이든 컵이든.. 물체를 구성하는 각 부분이 서로 위치가 변하지 않고 항상 고정된 위치를 가지고 있는 경우입니다. 앞에서 말했던 입자들이 무수히 많이 들어 있는 경우를 말하는 것이기도 합니다. 이렇게 될 때는 좀 더 어려운 기호로 바뀌게 되지요.
$\displaystyle x_{cm}= \frac{1}{M}\int x \, dm$
$\displaystyle y_{cm}= \frac{1}{M}\int y \, dm$
$\displaystyle z_{cm}= \frac{1}{M}\int z \, dm$
이것은 수학적 지식이 필요한 부분입니다. 제가 밉겠지만 이렇게 하기 싫으시면 위의 더하기를 무수히 많이 하시면 됩니다.

정리

우리가 관심을 가지고 지켜보는 물체가 한 점에만 몰려있고 외부에서 작용하는 힘은 그 점에만 작용하는 것처럼 볼 수 있는 그 점을 질량 중심(center of mass)이라고 합니다.
이렇게 될 수 있게 $x_{cm}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot m_i$ 등 위에서 본 것과 같이 질량 중심을 정의 해두었습니다. 질량의 가중치를 둔 평균 위치입니다.
이런 걸 왜 쓰냐면, 이런 아주 특별한 점을 잘 정의해두고 이용하면 물체의 운동을 기술하기도 편하고 어떻게 운동할지 예측하기도 편하기 때문입니다.

처음 본 동영상에서 “테니스채의 무게중심은 중력의 영향으로 포물선운동을 한다.” 라고 말하면 됩니다.

하지만, 수험생에게는 짐이 하나 생겼습니다. 질량중심을 구하라고 문제가 나오게 됩니다. 어떻게 해야할까요? 문제 풀어 보며 연습을 해야하는거죠.

입자계 (system of particles)

강체 (solid body)

정리

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