원자모형 - 보어 모형 - 수험생 물리

원자 모형은 돌턴 – 톰슨 – 러더퍼드 – 보어 – 양자역학의 현대모형의 과정을 거치면서 발전합니다.

보어 가설

보어는 원자가 어떻게 될지 몇 가지를 가정하여 그 이전 모형으로는 설명할 수 없는 것을 설명하려는 시도를 했습니다. 그 가정을 정리하면 다음과 같습니다.

1. 전자는 원궤도 운동을 한다.

원궤도를 이루는 이유는 원자핵과 전자의 전기력 때문입니다. 수소원자의 경우, $F = k \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ 를 만족합니다. 전기력이 원궤도의 구심력이 됩니다. e 는 전자의 전하량, k 는 쿨롱 법칙의 상수

2. 특정한 원궤도에서만 안정하다. 그 때는 전자기파는 방출하지 않는다.

전자기학에서 알고 있는 것, 전자가 가속도운동을 하면 전자기파를 방출한다는 사실을 무시합니다.

3. 어떤 안정된 궤도에서 다른 안정된 궤도로 바뀔 때 (전자가 전이될 때), 빛을 방출/흡수한다.(원자의 에너지가 바뀐다.)

전자기파의 방출/흡수는 빛의 방출/흡수를 말합니다. 그 때 방출/흡수된 빛의 파장을 $f$ 라고 하고, 궤도 $n$ 의 원자의 에너지 $E_n$ 이라고 하면 $E_n - E_m = h \, f$ ( $h$ 은 플랑크 상수) 결국 에너지 보존 법칙을 만족한다가 되죠.

4. 안정된 전자궤도는 양자화되어있다. 그 조건은 전자의 각운동량 $mvr = n \frac{h}{2\pi}$ ( $n$ 은 자연수) 을 만족하는 조건이다.

각운동량을 잘 모르면 이해하기 어렵습니다. 그래서, 조금 다르게 설명하기도 하는데, 위의 수식을 조금 바꾸어 씁니다. 그러면, $2\pi r mv = n h$ 를 만족한다는 말인데, $n \frac{h}{mv} = 2\pi r$ 인 조건과 같습니다. 즉, 전자의 드브로이파(물질파)의 정수배가 원둘레길이와 같다. 그래서, 안정된 궤도의 ‘전자의 물질파가 정상파를 이루고 있다’와 같은 말로도 표현합니다.

수소 원자 에너지 준위

수소 원자는 정지해 있다고 보고, 전자의 역학적 에너지를 말하는 것입니다. 전자의 운동에너지 + 전자의 위치에너지가 됩니다.
전기장에 의한 위치에너지 $E_p = - k \frac{e^2}{r}$ 이고,( $r = \infty$ 일 때, $E_p = 0$ 이 되도록 기준값을 정했습니다.)
운동에너지 $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = - k \frac{e^2}{2 r}$ 가 되므로,(위 구심력 식이 있습니다.)
역학적 에너지 $E_n = E_k + E_p = - k \frac{e^2}{2 r}$ 이 될 텐데,
r 은 양자화조건이 있으므로, n 에 따라 정해지고, E 도 n에 따라 정해집니다.
잘 정리하면 $E_n = -13.6eV / n^2$ 이 됩니다.

수소 원자 보어 모형에서 n 에 따른 물리량

n 값에 따라서 각 물리량이 어떻게 되는지를 정리해 보겠습니다.

위에서 수소원자에서 만족하면 되는 식은 두개입니다.
$k \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
$m v r = n \frac{h}{2\pi}$

n 이 바뀌면, 속력 v도 바뀌고, 궤도 반지름 r 도 바뀝니다. 따라서, 기호를 바꿔쓰겠습니다.
$k \frac{e^2}{r_n^2} = \frac{m v_{n}^{2}}{r_n}$
$m v_n r_n = n \frac{h}{2\pi}$

$r_n$ 을 알고 싶으면 $v_n$ 을 소거합니다.
$r_n = n^2 \frac{h^2}{4 \pi^2 k e^2}$

$v_n$ 을 알고 싶으면 $r_n$ 을 소거합니다.
$v_n = \frac{1}{n} \frac{2 \pi k e^2 }{h}$

n 이 커질 수록
• 궤도 반지름(r) 은 $n^2$ 으로 비례하고
• 전자의 속력(v) 는 $1/n$ 으로 비례하여 줄어듭니다.
• 전자의 각 운동량은 mv r 이니까 $n$ 으로 비례하여 늘어납니다.

• 위치에너지 $E_p = - k \frac{e^2}{r}$ 이니까
n 이 커질 수록 $- \frac{1}{n^2}$ 로 비례하는데 (-) 가 있으므로 증가하는 것입니다.

• 운동에너지는 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ 는 n 이 커질 수록 $\frac{1}{n^2}$ 로 비례해서 줄어 들긴합니다.

• 역학적 에너지는 두개의 합으로 수소 원자 에너지 준위에서 설명한 것과 같이 결국, n 이 커질 수록 $- \frac{1}{n^2}$ 로 비례합니다. (-) 가 있으므로 증가하는 것입니다.

• 물질파 파장 $\lambda_n = \frac{h}{mv_n}$ 이므로 $n$ 에 비례해서 늘어납니다.

‘전자의 물질파가 정상파를 이루고 있다’ 로 표현하는 경우
n = 2 일 때는 2배 진동이 되고, 물질파 파장도 2배가 되므로, 원궤도 둘레가 4배가 되고, 반지름이 4배가 된 것과 일치한다는 뜻입니다.
n = 3 일 때는 3배 진동이 되고, 물질파 파장도 3배가 되며, 원궤도 둘레가 9배가 되고, 반지름이 9배가 된 것과 일치한다는 뜻입니다.

• 전자와 원자핵사이의 전기력은
$F = k \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ 이므로
$\frac{1}{n^4}$ 으로 비례하고 n 이 커질수록 작아집니다.

공무원 국가직 7급 기출 분석

• 매년 1문제는 원자핵이나 원자 모형에 대해 묻고 있습니다. 둘 다 암기성이지만 어렵지 않으므로 약간만 시간을 투자하면 됩니다.
• 보어 양자 가설에 나오는 식 2개로 문제를 풀게됩니다. 가끔 수소 원자의 에너지 준위를 묻기도 하는데, 그 자리에서 식을 풀 수 없으니, 마지막 결론 $E_n = -13.6eV / n^2$ 은 외고 있는게 좋을 듯 합니다.
• 공무원 국가직 7급에서 상태수를 묻는 문제가 출제가 된 적이 있습니다. 물리전공인 사람들이 1년간 양자역학에서 배우는 내용입니다. (간단히 설명할 수 있는게 아니라는 뜻입니다. )이 결과가 화학시간에 배우는 내용입니다. 화학시간에 배운 내용을 바탕으로 풀어야 할 것 같습니다.