쿨롱의 법칙 문제 틀리는 법 - 1차원, 점전하 문제에서

쿨롱의 법칙은 잘 알고 계실거라 생각하고 문제를 풀 때 왜 틀리는지를 알아보려합니다.
흔히들 하는 실수가 주어진 식을 잘못 적용하여 생기는 문제인데, 저도 가끔씩 그런 실수를 합니다. 잘못 적용했을 때, 금방 잘못인지 알아채고 고칠 수 있으면 되는데, 많은 분들이 그것이 잘못되었다는 것조차도 알지 못하는 경우가 많다는게 문제입니다. 물리를 수식을 적용하는 암기과목처럼 접근하려고 하는 습관이 있기 때문이라고 생각하는데, 오늘은 쿨롱의 법칙을 가지고 문제를 틀리는 경우를 따져보겠습니다.(점전하, 1차원에서)

쿨롱의 법칙

두 개의 전하의 전하량이 각각 q,Q 라고 하고 거리 r 만큼 떨어져 있을 때, 각 전하에 미치는 힘 F는 거리의 제곱에 반비례하고, 각 전하량에 비례하며, 전하의 부호가 같으면 척력, 부호가 다르면 인력이 됩니다.
식으로 표현하면
$\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$
됩니다. $k$ 는 비례상수로 $\sim 9 \times 10^9 (N \cdot m^2 \cdot C^{-2})$ 의 값을 가지고, $\frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ 값과도 같습니다.
F 값이 + 이면 척력, – 이면 인력을 의미합니다.

문제를 틀려보자 1

전하량이 5C 인 전하가 x 축의 원점에 있을 때, 위치 x에 있는 전하량이 -3C 인 전하가 받는 힘의 크기(N)와 방향은 (x 가 증가하는 방향이 + )?

이런 쉬운 문제가 있다니… 위에 있는 식에다 숫자를 재빨리 넣어줍니다.
$F= k \frac{5\cdot (-3)}{x^2} = - \frac{ 15 k}{x^2}$
이렇게 답을 하는 순간 틀리게 됩니다.

왜 틀렸는지 찾았습니까?
x > 0 인 경우에는 F 가 (-)값이 나오고 문제가 없습니다만, x < 0 인 경우에도 F 가 (-)나와서 위치 x 에 있는 -3C 이 x축의 (-)방향으로 힘을 받는다는 표현 즉, 척력(서로 멀어지는 방향)이 작용한다고 표현하고 있다는 문제가 있습니다.
$\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 의 결과인 (+),(-)의 의미는 전하를 기준으로 했을 때의 방향이지, x축과 y축과 같이 절대적 방향을 의미하는 식이 아닙니다.
등가속도 직선 운동에서 힘의 방향은 절대적 방향이어서 (+)(-)가 크게 문제되지 않았지만, 쿨롱의 법칙에서는 전하를 기준으로 하는 상대적 방향이라서 신경을 많이 써야 합니다.

정답이 되려면,
x>0 일 때, $F= - \frac{15 k}{x^2}$
x<0 일 때, $F= \frac{15 k}{x^2}$
가 되어야 합니다.

문제를 틀려보자 2

전하량이 5C 인 전하가 x 축의 원점에 있고, x=3위치에 있는 전하량이 -3C 인 전하가 있을 때, x 위치(x>3)에 있는 전하 q 가 받는 힘의 크기(N)와 방향은 (x 가 증가하는 방향이 + )?

$F= k \frac{5\,q}{x^2} + k \frac{-3\,q}{x^2} = k \frac{ 2\,q}{x^2}$
혹시 이렇게 푸시는 분이 있을까 싶어서 적어두었습니다.

$\displaystyle F= k \frac{q\, Q}{r^2}$ 에서 r 은 둘사이의 ‘거리’를 말하는 것이지 ‘위치’가 아닙니다.
5C 은 원점에 있으니까 q 와의 거리가 $| x |$ 로 이고,
-3C 는 x= 3 인 위치에 있어 q 와의 거리는 $| x - 3 |$ 이 됩니다.

정답은
$F= k \frac{5\,q}{|x|^2} + k \frac{-3\,q}{| x - 3 | ^2} = k \frac{5\,q}{x^2} + k \frac{-3\,q}{(x - 3)^2}$ (단, x>3)
다른 위치에서는 (+)(-) 를 다시 따져야 합니다.

정리

• $\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 에서 r 은 ‘위치’가 아니라 ‘두 전하 사이의 거리’ 를 말합니다.
• 방향은 각 전하를 기준으로 하는 상대적 방향입니다.
• 문제를 풀 때에는 각 전하를 기준으로 영역을 쪼개어 방향을 생각하고, 크기는 $\displaystyle F= k \frac{|q| \,|Q| }{r^2}$ 로 양수만을 구하는 것을 추천합니다.

부연 설명

쿨롱의 법칙을 적용할 때 영역 쪼개지 않고 한 식으로 표현하는 방법은 식을 벡터로 표현하는 것입니다.
전하 $q_1$ , $q_2$ 가 각각 $\vec{r_1}$ , $\vec{r_2}$ 에 있을 때,
$q_2$ 에 의해 $q_1$ 이 받는 힘
$\displaystyle \overrightarrow{F_1} = k \frac{q_1 \cdot q_2 }{| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|^2 } \cdot \frac{ \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}} {| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|}$
이 됩니다.
훨~~~씬 복잡하게 표현되지요? 그래서 물리학 개론에는 다행히도 처음 본 식처럼 표현하는데, 사용할 때 상당한 주의를 해야합니다. 중요한 것은 쿨롱의 법칙은 “각 전하에 미치는 힘은 거리의 제곱에 반비례하고, 각 전하량에 비례하며, 전하의 부호가 같으면 척력, 부호가 다르면 인력” 이라는 내용이지, $\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 식이 아닙니다. 식은 그런 내용을 잘 표현하려고 노력하는 것일 뿐입니다. 물리에 식을 끼워 맞추면 $\displaystyle \overrightarrow{F_1} = k \frac{q_1 \cdot q_2 }{| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|^2 } \cdot \frac{ \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}} {| \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}|}$ 는 방법으로 식의 모양은 얼마든지 다르게 표현될 수도 있는 것입니다. $\displaystyle F= k \frac{q\,Q}{r^2}$ 식을 외우는 것보다 중요한 것은 내용을 아는 것이고, 그 내용에 맞게 식을 적용해야하는 것입니다.