특수상대성이론 : 동시의 상대성

아인슈타인의 특수상대성이론을 설명하는게 쉬운 일이 아닌듯 합니다. 많은 설명들을 보고 있지만, 읽을 때마다 혼동스러운 것들이 많이 있습니다. 이제와서 다시 학부때 보던 교과서를 펼쳐서 읽어보았는데, 교과서마저도 우리를 혼동에 빠뜨리더라구요. 교과서의 내용이 틀린게 아니라, 교과서가 말하고자 하는 이야기를 우리가 오해하기 쉽게끔 설명이 되어 있습니다. 저도 아무리 잘 설명하더라도 읽는 사람은 잘못 생각할 수 밖에 없을 것 같습니다. 그런 오해에 빠지지 않도록 설명을 드려야하는데….. 읽어보시고 어떻게 받아들여졌는지를 댓글에 남겨주시면 고맙겠습니다.

여기서는 첫 시작, 동시의 상대성을 이야기하려고 합니다.
아인슈타인이 특수상대성이론을 처음 낼 때 가장 빠른 교통 수단이 기차였나 봅니다. 예제들이 항상 기차에서 시작하지요. 저는 약간 업그레이드 된 기차, 은하 철도 999를 기준으로 설명하겠습니다. 우주의 행성들을 여행하는 기차는 빛의 속도에 가까울 정도로 아주 빠르게 달려갑니다. 특수상대성이론을 적용하기 좋게 그 기차의 속도는 v 로 일정하다고 합시다. 그러면, 그 어떤 역에서도 정차하는 일이 없습니다. 모든 역을 무정차 통과하는 기차입니다. 그 속도는 빛보다는 느리지만, 그래도 수십 % 정도로 아주 빠르게 달립니다.
기차의 한 가운데는 차장이 앉아 있고, 철이가 가장 앞에, 메텔이 가장 뒤에 앉아 있습니다. 그리고, 지구역을 왼쪽에서 들어와서 오른쪽으로 무정차 통과합니다. 속도는 v 로 일정한 것은 잊지마십시오. 지구역 플랫폼의 한 가운데 역장이 서 있습니다. 기차가 통과하는 것을 지켜봅니다. 우리에게 특수상대성이론 실험을 보여주기 위해서 이 사람들이 실험을 합니다. 다름아닌 ‘동시의 상대성’에 관한 교과서 그림에 나오는 실험입니다.
지구역 플랫폼 양 끝단에 단추를 누르면 빛을 나오도록 하는 장치를 각각 놓아 둡니다. 오른쪽 끝에는 파란 불빛이 왼쪽 끝에는 빨간 불빛이 나옵니다. 기차 앞쪽에는 철이가 앉아 있으니까, 플랫폼을 지날 때, 파란 불빛이 나오는 단추를 누르고, 기차 뒷쪽에는 메텔이 앉아 있으니까, 플랫폼을 지날 때, 빨간 불빛이 나오는 단추를 누를 것입니다. 그리고, 단추는 누르는 시점은 “파란 불빛과 빨간 불빛이 동시에 플랫폼의 역장에게 동시에 도착할 수 있도록” 누르는 거입니다. 그림으로 표현 하면 아래와 같습니다.

기차가 플랫폼에 다다르면, 철이와 메텔이 단추를 누릅니다.

말로 설명하면 너무 길어지니까 그림을 보면서 이야기 합니다. 짐작으로 그림의 상황을 아실거라 생각합니다. 주의할 것은 이 그림은 역장의 입장에서 그린 것입니다. 한 번 더 강조 합니다. 이 그림은 역장의 입장에서 그린 것입니다.

그림 1은 철이와 메텔이 단추를 누른것.
그림 2는 빛이 진행하는 동안, 기차도 진행한 모습.
그림 3은 차장에 파란 불빛이 도착한 순간.
그림 4는 역장에 빨간 불빛과 파란 불빛이 동시에 도착한 순간.
그림 5는 차장에 빨간 불빛이 도착한 순간.
이 그림의 기차 속도 v = 1/2 c 입니다.

각 그림들은 특정 시각에 상태를 표시하고 있습니다. 역장이 보기에 철이와 메텔이 단추를 동시에 누릅니다. 당연하죠. 거리가 같고, 빛의 속력이 같으니, 시간도 같게 걸릴 것이고.. 결국 두 단추를 누르는 시각은 같아야 합니다. 뭐 이렇게 당연한 이야기를 …..

이 뻔한 이야기를 교과서에서는 이 그림을 예로 들면서 동시의 상대성을 이야기 합니다. 그런데……… 사람들은 이 그림을 해석할 때, 잘못 해석하는 경우가 많다는 점이 문제입니다.
“아~~.
역장에게 동시에 불빛이 도착하지만, 차장에는 불빛이 동시에 도착하지 않는구나. 그러니까, 상대성 이론의 말하는 동시의 상대성은 나에게는 동시가 다른 사람에게는 동시가 아니구나.”

이 그림은 그런 뜻이 아닙니다. “불빛이 도착하는 시점”에 대해서 이야기 하는 것이 아닙니다.그것은 그냥 우리가 살고 평범한 세상에도 일어나는 일입니다. 불빛대신 사이렌소리로 바꾸고, 아주 느린 자동차를 타고 가더라도 똑같은 현상이 생깁니다. 차에 타고 있는 사람이 앞에서 나는 사이렌 소리를 먼저 듣고, 나중에 뒤에서 나는 사이렌 소리를 듣게 됩니다. 원래 두 사람에게 동시가 아닙니다.

궁금해 하는 것은 “단추를 누른 시점”이 동시인가입니다.
소리의 속도를 알고 있으니까 자동차에 타고 있는 사람은 언제 단추를 눌렀는지 측정과 계산을 통해서 메텔과 철이가 동시에 단추를 눌렀다는 사실을 알 수 있습니다. 소리의 도플러 효과까지 감안하면 충분히 실험을 통해서 철이와 메텔이 “단추를 누른 시점”을 알 수 있고, 그것이 동시에 이루어졌다는 것을 알 수 있습니다. 특수상대성이론이 나오기 전까지 고전역학에서는 이것이 역장에게 동시가 차장에게도 동시이고 아무 문제가 없다고 생각했습니다.

“아 ~~.
그러니까 특수상대성 이론에서는 단추를 동시에 누르면 역장 입장에게 빛이 동시에 도착하지만, 차장에게는 동시에 도착하지 않는처럼 보이고, 차장입장에서 보면 차장에게는 빛이 동시에 도착하지만, 역장입장에서는 동시에 도착하지 않는 것으로 보이는구나. 동시는 상대적인 것이구나”
라고 또 잘못 해석할 수 있다는 것입니다. 그 말도 틀린 것입니다. 차장에게는 파란 빛이 먼저 도착하고, 빨간 빛이 나중에 도착하는 것은 여전한 사실입니다. 역장이 봐도 차장에게 파란 빛이 먼저도착하고, 차장이 봐도 차장에게 파란 빛이 먼저 도착합니다.

빛이 도착하는 것을 보는게 아니라, “단추를 누른 시점”을 따지는 것입니다. 차장이 볼 때는 동시에 누른 것이 아닐 수 있다는 것을 지적하는 것입니다. 철이와 메텔이 동시에 누른게 아닐 수 있다는 점입니다. 빛의 속도는 측정하면 누구에게나 속력은 동일한 c (진공 중에서 속력이지만, 공기중에서도 거의 비슷합니다.)가 나온다는 점입니다. 철이와 메텔이 동시에 단추를 눌렀다면, 단추의 거리가 똑같이 떨어져 있는 역장에게는 동시에 도착해야하는 것은 당연하고, 철이와 메텔이 차장에게서 똑같은 거리 만큼 떨어져 있으므로 차장에게도 동시에 도착해야합니다.

그럼 거리가 같이 떨어진 철이와 메텔이 단추를 누른 후 파란 빛이 먼저 도착하고, 나중에 빨간 빛이 도착하는 방법은 무엇일까요? 빛의 속력은 똑같이 c 입니다. 차장입장에서는 철이가 파란 단추를 먼저 누른 뒤, 메텔이 나중에 빨간 단추를 누르면 됩니다.
” 아니 동시에 눌렀다면서요.”
네, “플랫폼의 역장”입장에서 동시에 눌렀습니다. 하지만, “기차의 차장”입장에서는 동시에 누른게 아닙니다. 동일한 일(사건)이 일어났지만 한 사람이 보기에 동시(동일한 시각)에 일어난 일이, 다른 사람이 보기에는 다른 시각에 일어난 일이 될 수 있다는 겁니다. 역장이 바라보는 동시에 일어난 사건이 차장이 바라볼 때는 동시가 아니라는 뜻입니다. 동시가 상대적이란 말입니다. 빛의 속도는 누구에게나 c 로 동일해야한다는 사실을 지킬 수 있는 방법이 공간과 시간을 기존과는 다르게 보는 방법입니다.

“아~~
역장에게 동시에 일어난 일이 차장에게는 동시가 아니라고 했으니, 빛이 역장에게 동시에 도착한 것은 차장에게는 동시에 도착한 것으로 안 보이는 구나.”
이것도 잘못 해석하는 것입니다. 미안하지만, 빛이 역장에게 동시에 도착한 것은 차장이 봐도 동시에 도착한 것으로 보입니다. 위치가 동일한 곳에서 동시에 일어난 일은 역장에게나 차장에게나 동시에 일어난 일입니다. 위치가 다른 곳에서 일어난 두 사건이 한쪽 관성계에서 동시로 보이지만, 다른 관성계에서는 그렇지 않다는 것입니다.

결론
“아~~ C. 뭔말인지 모르겠다.”
네… 맞습니다. 뭔말인지 모르겠습니다. 우리는 이런 일이 일어나는 일을 경험해 본적도 없습니다. 주변에서는 눈을 씻고 둘러봐도 상대성이론을 적용해야할 만큼 빨리 달리는 물체는 없습니다. 저도 그런 일을 경험해 본적이 없습니다. 다만, 빛의 속력은 어떤 관성계에서도 c 로 일정해야한다는 사실과 어떤 관성계에서도 물리현상은 동일하게 일어나야한다는 사실 두 개를 말이 되도록 설명하기 위해서는 우리의 경험과 달리 공간과 시간에 대해서 생각해야한다는 것이고, (공간과 시간이 서로 엮여있다,꼬여있다,별개가 아니다,entangled 라고 말합니다.) 두 관성계에서 위치와 시각을 해석할 때는 로렌츠변환을 통해서 서로 어떤 위치,시각에 일어난 사건인지 계산할 수 있다는 것입니다. 저도 이런 로렌츠변환을 통한 결과 값을 가지고, 어떤일이 일어나고 있는지 확인한 값입니다. 도저히 말로는 제대로 설명을 못하겠습니다. 그런데…. 고등학교 물리책에는 시간이 팽창하고 길이가 수축한다는 이야기, 동시는 상대적인거야라고 가르치고 있습니다. 이게 그렇게 이해될 것이 아니라는 것입니다. 아마도 아주 많은 사람들이 잘못 알고 계실 겁니다. 저 또한 마찬가지였고, 지금 제가 아는 것도 아주 일부입니다. 그냥, ‘그렇게 알고 있으면 틀린 것이에요’를 말씀드릴 수 밖에 없네요.

다음은 좀 더 이해를 돕기위해 역장입장이 아니라 기차의 차장입장에서 살펴보겠습니다.

실험을 성공하기 위해서 철이,메텔,차장이 한 일

기차안의 세 사람은 이 실험(빨간빛과 파란빛이 역장에게 동시에 도착하게 하기)을 성공하기 위해서 특수상대성 이론을 열심히 공부해서 계산을 한 뒤 일을 꾸민 것입니다. 지금 부터는 기차안을 기준으로 이야기 합니다.
먼저 차장은 지구역에 도착하기 전에 역장에게 단추의 위치에 대해 물어봅니다. 역장은 “나는 플랫폼 가운데 서 있고, 파란 단추와 빨간 단추가 각각 거리 L 만큼 떨어져 있다”고 말합니다. 차장은 이 기차가 달려가는 속도를 알고 있습니다. 그림의 경우는 v = 1/2 c 를 기준으로 그린 만큼, 기차의 속도는 v = 1/2 c 라고 합시다. 차장은 바깥 풍경을 보면 모든 물체가 1/2 c 로 움직이는 것을 알 수 있기 때문에 자신의 속도가 v = 1/2 c 인 것을 압니다.
특수 상대성 이론에 따르면 기차에서 측정한 철이와 차장간의 거리 $L_0$ 은 플랫폼에서 측정하면 $L = L_0 \sqrt{1-(v/c)^2}$ 이라는 것을 알고 있기 때문에 철이와 메텔에게 거리 $L_0 = L \frac{1}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
만큼 떨어져 앉아 있으라고 말합니다. 역장이 불러준 길이보다 더 길어지지요. 차장은 철이와 메텔에게 “기차가 플랫폼에 다가가면 단추가 보일 것이니, 단추가 앞에 있는 순간 단추를 누르라.”고 말합니다.

그런 준비를 한 상태에서 일어나는 일을 시간 순서대로 그림으로 나타내면 다음과 같습니다. 이것은 기차 안에 있는 사람들이 보는 시간과 공간에 대한 이야기입니다.

앞에서 본바와 같이 기차의 속도 v = c /2 이기 때문에 기차의 입장에서는 플랫폼이 v = c/2 의 속도로 오는 것 처럼 보일 것입니다.

여전히 차장에게는 파란빛이 빨간빛보다 도착하고, 역장에게는 파란빛과 빨간빛이 동시에 도착합니다. 그런데, 단추를 누른 시점은 동시가 아닙니다.

로렌츠 변환 적용

이 그림을 그리기 위해서 정답계산을 먼저 하고 그렸습니다. 로렌츠 변환이라는 특수상대성이론에서 두 좌표계 변환 방법을 계산한 뒤, 그 결과에 맞게 그렸습니다.

역장과 차장이 만나는 순간(사건)에 위치를 0, 시각을 0 으로 잡고 숫자를 이야기 하겠습니다.
플랫폼의 좌표계는 x,t, 기차의 좌표계는 x’,t’ 라고 했습니다.
로렌츠 변환은 $x = \frac{x' +vt'}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ , $t = \frac{t'+vx'/c^2 }{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ 입니다. 반대 좌표계로는 $x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ , $t' = \frac{t+vx/c^2 }{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ 입니다. 예상대로 좌표계를 바꾸면 속도를 -v 로 넣은 것과 같게 됩니다.
v = c / 2 이므로 v/c 가 나오면 1/2 를 넣었습니다.

	플랫폼기준	플랫폼 기준	기차기준	기차기준
사건	x	t	x’	t’
차장과 역장이 만남	0	0	0	0
파란단추를 누름	L	0	$\frac{L}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$	$\frac{-(1/2) L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
빨간단추를 누름	-L	0	$\frac{-L}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$	$\frac{+(1/2) L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
파란빛이 차장에 도착	L/3	$\frac{2}{3} L/c$	0	$\frac{+(1/2) L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
파란빛이 역장에 도착	0	L/c	$\frac{-(1/2) L}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$	$\frac{ L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
빨간빛이 역장에 도착	0	L/c	$\frac{-(1/2) L}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$	$\frac{ L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
빨간 빛이 파란 단추에 도착	L	2L/c	0	$\frac{(3/2) L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
빨간빛이 차장에 도착	L	2L/c	0	$\frac{(3/2) L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$
파란빛이 빨간 단추에 도착	-L	2L/c	$\frac{-2 L}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$	$\frac{(5/2) L/c}{\sqrt{1-(1/2)^2}}$

두 개의 그림과 이 표를 같이 놓고 살펴보아야 이해가 잘 될 텐데요.

잘 보이는지 모르겠네요.

이렇게 설명하면 빛의 속력은 c 라는 사실이 역장의 입장에서도, 차장의 입장에서도 틀리지 않은 말이 됩니다.

무엇이 동시인지 살펴봅시다. 여기서는 v = c/2 이기 때문에 동시가 많이 있습니다.
플랫폼기준 역장이 보기에는
a-1. 차장과 역장이 만나는 사건, 파란단추를 누르는 사건, 빨간 단추를 누르는 사건 이 동시입니다.
a-2. 파란빛이 역장에 도착하는 사건, 빨간 빛이 역장에 도착하는 사건도 동시입니다.
a-3. 빨간 빛이 파란 단추에 도착하고, 빨간빛이 차장에 도착하는 사건, 파란빛이 빨간 단추에 도착하는 사건이 동시입니다.

기차안 차장이 보기에는
b-1. 빨간 단추를 누르는 사건, 파란빛이 차장에 도착하는 사건이 동시입니다.
b-2. 파란 빛이 역장에 도착하는 사건, 빨간 빛이 역장에 도착하는 사건도 동시입니다.
b-3. 빨간 빛이 파란단추에 도착하고, 빨간 빛이 차장에 도착하는 사건만 동시입니다.

둘을 비교해보면
a-1 은 역장이 보기에만 동시이지만, 차장이 보기에는 동시가 아닙니다.
b-1 은 차장이 보기에는 동시이지만, 역장이 보기에는 동시가 아닙니다.
a-2,b-2 는 역장이 보기에 동시이지만, 차장이 보기에도 동시입니다.
a-3,b-3 이 어떤 것은 동시이고, 어떤 것은 동시가 아닙니다.

잘~~알 살펴보면,
동일 위치에서 일어난 두 사건은 누가 보이에도 동시이지만,
다른 위치에서 일어난 두 사건은 한쪽이 보기에는 동시지만, 다른 쪽이 보기에는 동시가 아닙니다.

여기서는 v=c/2 이기 때문에 동시가 많습니다. 여기서는 v=c/2 이기 때문에 동시가 많습니다만, 만약 기차가 c/2 가 아닌 다른 속도롤 달렸다면 다음 결과정도만 맞는 말이 됩니다.
(다른 위치에서 일어난 두 사건) 역장이 보기에는 단추를 동시에 눌렀다고 보더라도, 기차에서 보기에는 동시에 누른 것이 아니며,
(동일한 위치에서 일어난 두 사건) 역장이 보기에 동시에 도착한 파란빛,빨간빛은, 기차에서 보아도 두 색깔의 빛은 동시에 도착합니다.

이 현상은 속도가 빠를 때만 나타나는게 아니라, 어떤 속도에서도 나타납니다. 그러나, 우리 주변에서 보는 속도는 빛의 속도 보다 아주 느리기 때문에 아주 조금밖에 영향을 안 줍니다. 예를 들어 버스 10m 가 10m/s 속도로 달린다고 했을 때 철이는 메텔보다 $10^{-20} s$ 정도 메텔보다 먼저 눌러야 합니다만… 이 시간은 정말 측정도 못할 만큼 짧은 시간입니다.

네…. 아주 어렵습니다.
그림을 천천히 다시 살펴보면서 많이 생각해 보아야 할 것입니다. 그리고, 꼭 알아야겠다 싶으시면 로렌츠변환계산도 한 번 해보시기 바랍니다. 이렇게 어려운 걸 고등학생들에게 가르치는 시늉만 하는 것은 너무 안타깝습니다.

붙임말

1. 저도 특수상대성이론 잘 몰라요. 그쪽 전공이 아니라서, 학부때 배운게 다예요.
2. 계산 잘 틀리는 편이에요. 그림이나 숫자 계산 틀린 것 있으면 꼭 지적해주세요.
3. 저 그림 잘 못 그려요. 누가 예쁘게 그릴 수 있는 분은 재능 기부 해주세요.

실험을 성공하기 위해서 철이,메텔,차장이 한 일

로렌츠 변환 적용

붙임말

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