특수상대성 이론 시간팽창(지연)

특수상대성이론의 시간팽창, 시간지연, time dialation 이란 현상에 대해서 알아봅니다.
이글은 특수상대성이론을 처음 보는 사람에게 설명하는게 아니라, 이미 배웠지만 이해가 잘 되지 않는 이 이론을 종합적으로 살펴보려는 것입니다.

교과서에 소개된 시간 팽창에 대해 설명하는 그림을 보면 단순히 시간팽창에 관계된 식을 찾아내기 위한 것이지, 전체적으로 일어나는 현상을 보여주는게 아닙니다. 그래서, 그 그림만 보고 말로된 설명을 보고 들으면 너무 설명이 안되고 갑갑한 점들이 많습니다. 우리가 그런 경험을 할 수 있는게 아니기 때문에 쉽게 이해할 수 없는게 당연합니다. 뿐만 아니라 상황을 보면 단순히 말로 설명하기에는 힘든 일들이 많이 들어 있습니다. 여기서는 설명을 하지 않겠습니다. 상황에 대한 그림을 보여드려서 이해를 돕도록 하겠습니다.

이번 예제도 지난번 동시의 상대성과 같이 로렌츠변환을 계산을 통해 특수상대성이론에 모순되지 않도록 그려보았습니다. 먼저 숫자를 단순하게 만들기 위해 빛의 속도 $c = 3 \times 10 ^8 m/s$ 라고 하겠습니다. 그러면, $10ns = 1 \times 10^{-9} s$ 동안에 $3m$ 진행하게 됩니다. 지난번과 같이 빛의 속도에 근접하게 달릴 수 있는 기차 은하철도 999 를 동원하겠습니다. 이 기차의 속도는 $v = \sqrt{3}/2 c$ 로 달리도록 하겠습니다. 그러면 시간, 길이 변화가 2배가 되어서 선택하게 된 숫자입니다. 특수상대성이론을 다루는 것이라 기차는 역을 무정차통과합니다. 그 기차에는 빛이 통과하면 보라색으로 변하는 가상의 물질을 투명한 통에 가득 담고 달린다고 하겠습니다. 빛이 지나가는 경로를 표시하기 위함입니다. 기차의 제일 앞에 차장이 타고 있고, 기차가 무정차 통과하는 역의 플랫폼에 역장이 서 있습니다. 시간은 차장과 역장이 만나는 순간을 0 으로 하겠습니다.

그림은 역장이 ㄱ. 지점에 서 있고, ㄴ,ㄷ,ㄹ,ㅁ 지점을 중심으로 일어나는 일을 살펴볼 것입니다. 시간이 0 일 때, ㄱ. 지점에서 레이저를 동시에 ㄴ,ㄷ 지점으로 레이저를 쏩니다. ㄴ,ㄷ 에는 거울이 설치되어 있어 반사된 빛이 각각 ㄱ, ㄹ 에 도착하도록 잘 배치해 두었습니다. 동시의 상대성에서도 소개했다시피 ㄱ에서 발사한 두 레이저 빛은 역장에게 동시일 뿐만 아니라, 기차안 차장한테도 동시입니다. 그리고, 그 때, ㄱ. 에서 ㅁ 쪽으로 아주 빠른 총알도 발사됩니다. 이 역시 ㄱ 지점에서 동시에 발사되었습니다. 이 총알의 속도는 기차의 속도의 절반인 $v = \sqrt{3}/4 c$ 입니다. ㄱ 과 ㄴ 사이의 폭은 3m 이고, ㄱ, ㄷ 사이의 거리는 6m 입니다. 빛의 속도로 가면 10ns, 20ns 걸리는 거리입니다. ㄴ,ㄷ 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 이용하면 $3 \sqrt{3}$ m 입니다. ㄷ,ㄹ 간 거리도 6m 입니다. 역장이 보기에는 길이가 $3 \sqrt{3}$ m 인 기차가 들어옵니다.

이 그림은 역장의 입장에서 그린 그림입니다.
빛이 0ns 에 ㄱ 에서 출발해서 20ns 뒤에는 ㄱ, ㄷ 에 동시에 도착합니다. 그리고, 40ns 후에는 ㄹ 에도 빛이 도착하고, ㅁ 에는 총알이 동시에 도착합니다. 기차의 끝부분이 ㅁ에 도착하는 것도 동시입니다. 빛이 지나간 자리에는 기차안에서 보라색 자국이 남아 있습니다.
ㄱ-ㄴ 사이의 빛의 속도는 $c = 3 \times 10 ^8 m/s$ 이고, ㄱ-ㄷ-ㄹ 사이의 빛의 속도도 $c = 3 \times 10 ^8 m/s$ 입니다. ㄱ-ㄹ 사이 40ns 동안 $6 \sqrt{3}$ m 를 진행 했으므로 기차의 속도 $v = \sqrt{3}/2 c$ 도 마찬가지로 설명이 됩니다.
그리고, 기차 앞 부분의 차장의 시계를 보면 처음 0 일 때는 분명히 0으로 같지만, 역장이 10ns,20ns,30ns… 흐를 때, 차장의 시계는 5ns,10ns,15ns, … 로 흐르고 있습니다. 시간팽창에서 배운대로 2배의 차이가 나는 것입니다. 뿐만 아니라, 기차의 중간, 끝부분에 있는 시계도 시간이 2배 차이 나도록 흐르고 있습니다. 다만, 우리가 생각한 것과 달리 시각이 기차 위치에 따라 다릅니다. 이것은 기차 차장이 시계를 잘못 맞추었기 때문이 아닙니다.

다음의 차장의 입장에서 보시면서 알 수 있습니다.

이제 입장이 바뀌었습니다. ㄱ-ㄴ 간 거리는 역장이나 차장이나 똑같이 3m 입니다. 길이수축은 속도방향에만 적용되는 것이기 때문입니다. ㄴ-ㄷ 간 거리는 반으로 줄어듭니다. 정지된 곳에서 측정한 길이 $3 \sqrt{3}$ m 가 이었으므로 움직이는 좌표계에서는 길이 수축이 일어나 $3\sqrt{3}/2$ m 입니다. 기차의 길이는 움직이는 좌표계에서 $3 \sqrt{3}$ m 라고 했으므로 정지된 좌표계에서 측정한 길이는 오히로 두배로 늘어납니다. $6 \sqrt{3}$ m 입니다. 기차안의 모든 시계는 차장의 시계에 잘 맞춰져 있습니다.

동시의 상대성을 살펴보십시오.
빛이 0ns 에 ㄱ 에서 출발해서 10ns 뒤에는 ㄷ 도착하지만, ㄴ에는 아직 도착하지 않았습니다. 오히로 차장입장에서는 20ns ㄴ,ㄹ에 동시에 도착합니다. 그리고, 40ns 후에는 ㄹ 에도 빛이 도착하고, 동시에 기차의 끝이 ㄱ에 도착합니다. 50ns 뒤에는 기차의 끝이 ㅁ 에 도착할 때 총알도 동시에 도착합니다. 빛이 지나간 자리에는 기차안에서 보라색 자국이 남아 있는 모양은 역장이 보든, 차장이 보든 결과적으로 똑같게 되어 있습니다.
차장의 입장에도 ㄱ-ㄴ 사이의 20ns 동안 6m 를 진행하는 빛의 속도는 $c = 3 \times 10 ^8 m/s$ 입니다. ㄱ-ㄷ 사이의 빛의 속도도 $c = 3 \times 10 ^8 m/s$ 입니다. 여전히 빛의 속도는 변함없이 누구의 입장이든 c 입니다.
총알을 잘 보면 50ns 동안 기차의 길이 $6 \sqrt{3}$ m 뒤로 갔으므로 총알의 속도는 $- 6 \sqrt{3} m / 50 ns$ 로 $\frac{- 5 \sqrt{3}}{2}c$ 입니다. 특수상대성이론의 속도계산법을 적용한 결과와 잘 일치할 것입니다.

차장의 입장과 역장의 입장에서 본 사건들에서 각자의 시계에서 아무 문제 없이 작동하고 있습니다. 움직이는 좌표계에서 측정한 시간은 고정된 좌표계에서 측정한 시계에서 측정한 시간의 2배가 되는 현상은 여전히 제대로 작동하고 있습니다.
ㄱ-ㄴ-ㄱ 의 사건은 역장한테는 자기의 위치에서 일어나는 일로서 시간은 20ns 걸리지만, 차장의 입장에서는 2배로 40ns 걸립니다.
ㄱ-ㄷ-ㄹ 의 사건은 차장한테는 자기의 위치에서 일어나는 일로서 시간은 20ns 걸리지만, 역장의 입장에서는 2배로 40ns 걸립니다.
ㄱ-ㅁ 의 총알이 날아가는 사건은 역장한테, 차장한테 모두 자기의 위치에서 일어나는 일이 아니며, 역장한테는 40ns 걸리지만, 차장한테는 50ns 걸리는 일입니다.

교과서에서 소개하는 시간팽창 일어나면 2배를 곱해주는 사건은 특별한 경우, 즉, 위치가 변하지 않을 때만 적용되는 경우입니다. 그런데, 모든 다른 사건들에 적용하려고 하니 막 앞뒤가 안 맞는 이상한 일들이 벌어지는 것처럼 보이는 것입니다. 결국, 로렌츠 변환을 해야 이 사건들이 서로 언제 일어나는 일인지 알 수 있습니다. 그러니까, 시간팽창에서 배운 $T = T0 / \sqrt{1-(v/c)^2}$ 를 남용하면 문제도 안 풀리고, 이해도 안되었던 것입니다.

교과서에서 설명하는 내용이 틀린것도 아닙니다. 특정 위치를 따라가면서 시계를 보시면 흘러가는 시간이 2배로 늘어나 있는 것은 여전히 틀린말이 아닙니다. 지금 일어나는 일을 말로 표현하기가 너무 어렵다는 겁니다.

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