회전에 사용되는 변수들 (회전축이 고정된 회전운동)

대학물리(일반물리)에서 회전운동을 배우는 이유와 범위 정도는 회전운동에서 대략 이야기 하였습니다. 이제는 범위를 줄여서 회전축이 고정된 회전운동에 대해서 살펴봅니다. 그중에서도 회전운동을 어떻게 기술하는지를 살펴봅니다. 병진운동에서 ‘힘과 운동’ 이란 단원의 운동부분에 해당합니다

회전운동의 기술(description)

물리를 처음 배울때 먼저 운동을 어떻게 기술하는지를 배웁니다. 운동을 기술하기 위해 거리, 위치, 시간, 변위, 속력, 속도, 가속도 이런 것들을 배웁니다. 힘이란 개념을 쓰지 않고 단지 어떻게 움직이는지를 표현하는 방법을 먼저 배웁니다. 회전운동에서도 마찬가지로 어떻게 회전하는 운동인지를 표현하는 방법을 먼저 알아야 그 다음 이야기를 할 수 있겠지요.

각

회전하는 운동에서는 가장 기본적인 변수는 각입니다. 병진 운동에서 위치, 변위를 배우는 것에 대응됩니다. 위치(positon), 변위(displacement)에 대응되도록 회전되는 양을 angular position, angular displacement 란 영어 표현이 있습니다. 이 표현에 딱 맞도록 표준적인 용어는 없는 것 같습니다.

병진운동의 물체의 위치(position)에 대응되도록 회전 운동의 회전량은 angular position이란 각도를 생각할 수 있습니다. 직선운동에서 원점에서 얼마나 떨어진 곳에 위치한 것인지를 x 값으로 표현하듯, 축이 고정된 회전운동에서도 기준이 되는 선(영문 교과서에서 zero angular poistion 라고 하네요)에서 물체가 얼마나 돌아갔는지(=회전하였는지)를 \(\theta \)로 표현할 수 있습니다.

물체가 얼마나 돌아갔는지(=회전한 각의 크기가 얼마인지) 알기 위해서는 물체위에 고정된 선을 표시하는 것이 좋습니다. (이 선을 영문 교과서에서는 reference line 이라고 합니다.) 어떤 물체들은 회전한 것이 쉽게 구별되지만 그렇지 않은 경우도 많이 있으므로 물체 위에 일부로 선을 그어 표시하는 것이 크게 도움이 됩니다. 물체위에 선을 표시하지 않은 그림1의 물체는 회전을 하더라도 전혀 눈에 띄지 않습니다. 그림2와 같이 선을 그어 주어야 회전하는지 쉽게 알 수 있습니다.

회전한 각 \(\theta \)는 회전하지 않는 고정된 어떤 기준선과 물체에 그어놓은 선(reference line)이 이루는 각입니다.
각의 크기를 표현하기 위해 물론 삼각형을 배울 때 부터 알게 된 각도라는 개념은 잘 알고 있을겁니다.

그림속 r과 s는 각 \(\theta\)를 이루는 부채꼴을 만들었을 때 반지름과 호의 길이를 말하는 것입니다. \(\theta\) 는 호도법(radian)으로 각의 크기를 구하는 방법입니다.

위치, 변위를 표현할 때 m(미터)라는 단위를 가지고 있듯, 각을 표현할 때도 °, radian이란 단위를 사용합니다.
각의 표현은 주로 radian 방법을 사용하는 것은 잘 알고 있을 것이라 생각해서 생략합니다. radian을 사용하는 이유를 알고 싶은 분을 위해 별도로 글(호도법을 쓰는 이유)을 남겨 두었습니다.

한바퀴 = 1회전 = 1 rev = 360° = 2π rad

rev 는 revolution(회전수, 바퀴)을 줄여 쓴 표현입니다.

직선운동에는 계속해서 값이 커지거나 작아질 수 있듯이 회전운동에서도 각의 크기는 계속 커지거나 작아질 수 있지만, 2π rad (= 360°) 마다 똑같은 모양이 되는 것이 큰 차이점입니다.

직선운동에서 물체의 변위(displacement)는 나중 위치 – 처음 위치 (\( \Delta x = x_f – x_i \)) 로 표현 하듯이 축이 고정된 회전운동에서 물체의 각변위(angular dispalcement)도 나중 각위치 – 처음 각위치 (\( \Delta \theta = \theta_f – \theta_i \))로 생각할 수 있습니다.

각속도, 각가속도

직선운동에서 거리, 시간, 속력, 속도, 가속도와 마찬가지도 회전운동에서 각, 시간, (각속력?), 각속도, 각가속도란 개념을 똑같이 쓸 수 있습니다. 이말은 각 –> 거리, 각속도 –> 속도, 각가속도 –> 가속도, 이동했다 –> 회전했다. 로 바꾸어 생각하면 예전에 배운 것과 같이 생각할 수 있다는 말입니다. 등가속도 직선운동에서 거리(변위),시간, 속력(속도), 가속도와 마찬가지로 축이 고정된 회전 운동에서는 각, 시간, 각속도,각가속도를 정의할 수 있고, 관계식도 같은 모양이 됩니다. 평균속도, 순간속도와 마찬가지로 평균각속도, 순간각가속도 개념도 그대로 사용하면 됩니다. 회전하는 물체의 각속도가 크거나 작다는 뜻은 같은 시간에 회전한 각의 크기가 크고 작다는 말입니다.

개념적으로 문제는 없는데 이상하게 각속력이란 말을 쓰는 경우를 본적이 없습니다

직선운동에서 위치 또는 변위,속도,가속도의 기호로 거의 모든사람이 x, v, a를 쓰지만 회전운동에서는 사람마다 조금씩 다른 기호를 씁니다. 저는 각이 관련될 때와 구분을 하기 좋게 그리스문자를 쓰는 것을 좋아합니다. 그래서 각, 각속도, 각가속도로 각각 \( \theta \), \( \omega \), \( \alpha \)를 씁니다.

각속도(가속도의 오타가 아닙니다.) \(\omega \) 는 같은 시간동안 얼마나 빠르게 회전하였나를 표현합니다. 일상생활에서는 회전하는 물체로 모터나 자동차 엔진를 예로 생각할 수 있습니다. 여기서 각속도의 단위로 rpm 을 많이 사용합니다. rpm 은 revolution per minute 의 줄임말입니다. rev / min 으로 우리 말로 쓰면 분당 회전수입니다. 모터나 엔진의 회전수가 1분당 3000바퀴라면 3000rpm 이라고 합니다. 그러나 물리시간에는 시간의 기본적 단위로 초[s]를 쓰기로 했고, 회전하는 각의 크기는 radian을 쓰기로 했으므로, 각속도는 기본적으로 rad/s 씁니다.

\( \omega \) = 3000 [rpm] 인 경우를 [rad/s]로 표현해 보면, 3000 [회전]은 3000 x 2π [rad] 에 해당하고, 1분 [min]은 60초[s] 이므로 3000 [rpm] 은 3000 x 2π [rad] / 60[s] 가 되어 100 π [rad/s] 가 됩니다. 여기서 π 는 변수가 아니라 3.14159….라는 무리수입니다. 그러니 3000[rpm]은 약 314.59 [rad/s] 입니다.

각가속도 \( \alpha \)는 직선운동에서 가속도에 대응합니다. 직선운동에서 가속도가 0보다 크면 점점 더 빨라진다고 말하거나, 속도가 시간에 따라 커진다고 하듯, 회전운동에서 각가속도가 0보다 크면 점점 더 빨리 돌아간다(회전한다)라고 말하거나, 각속도가 시간에 따라 커진다라고 할 수 있습니다. 각가속도의 단위는 \( rad/s^2 \) 가 기본적인 단위가 될 것입니다. 모터가 10초만에 60rpm 에서 300rpm 으로 빨리 돌게 되었다면 10[s]만에 각속도가 2π [rad/s] 에서 10π [rad/s] 가 된 것이고, 10초 동안 각속도의 변화량이 8π [rad/s] 이므로 평균 각가속도는 0.8 π \([rad/s^2]\) 라고 말할 수 있습니다.

교과서에서는 속도, 가속도 설명하듯 충실히 설명하지만, 병진운동에서 배웠던 개념들이니 이정도 예시를 드는 것으로 대체하겠습니다.

병진운동		회전운동
위치	\( x \)	각	\( \theta \)
속도	\(v=\frac{dx}{dt} \)	각속도	\( \omega=\frac{d\theta}{dt} \)
가속도	\(a =\frac{dv}{dt} \)	각가속도	\(\alpha= \frac{d\omega}{dt}\)
질량	\( m\)	관성모멘트	\( I\)
힘	\( F\)	돌림힘(토크)	\(\tau\)
뉴턴의 2법칙	\( F=ma\)	뉴턴의 2법칙	\( \tau=I\alpha\)
일	\( W= \int F dx \)	일	\( W= \int \tau d\theta \)
일률	\( P = Fv \)	일률	\(P=\tau\omega \)
운동에너지	\(K=\frac{1}{2}mv^2 \)	운동에너지	\( K=\frac{1}{2}I\omega^2\)
운동량	\(p=mv \)	각운동량	\( L=I\omega\)

각, 각속도, 각가속도의 방향

축이 고정된 회전 운동에서는 각, 각속도, 각가속도의 방향은 손쉽게 시계방향, 반 시계방향의 방향으로 표현할 수 있을 것입니다. 일반적으로 반 시계방향으로 돌아가는 경우를 각의 크기가 커지고, 시계방향으로 돌아가는 경우 각의 크기가 작아진다고 정해 씁니다. 별거 아닌 것 같지만 이렇게 각의 방향을 정하는 것은 아주 큰 문제가 있습니다. 왜냐면 내가 보기에 시계방향이라고 말한 것은 반대쪽에서 바라보면 이게 반시계방향이 됩니다. 그래서, 단순히 보는 방향을 말하지 않고 시계방향, 반시계방향이라고 말하는 것은 각,각속도,각가속도의 방향을 표현하는 좋은 방법은 아닙니다.

이 문제를 해결하기 위해서 특이한 방법으로 각의 방향을 표시하는데, 그 방법은 축에다가 화살표를 표시하는 방법입니다. 먼저 오른손으로 엄지척합니다. 엄지손가락과 나머지 네손가락이 가리키는 방향이 중요합니다. 네손가락은 물체가 돌아가는 방향으로 두고 난 뒤 엄지손가락이 가리키는 방향으로 화살표의 방향을 그리는 방법입니다. 이렇게 표현하면 앞에서 보는 사람이나 뒤에서 바라보는 사람 모두 같은 화살표를 그리게 됩니다. 오른손잡이든, 왼손잡이든 오른손으로 방향을 생각해야합니다.

이것은 방향을 표시하는 방법으로 선택한 것일 뿐입니다. 왼손을 기준으로 쓰는 방법으로 정할 수도 있지만, 그렇게하면 물리시간에 나오는 식과 결과가 다른 경우가 생겨버립니다. 그러니, 모든 식을 다시 쓸 자신이 없는 분은 오른손을 기준으로 생각하는 것이 좋습니다. (저도 모든 식을 다시 쓸 자신이 없으므로 오른손을 기준으로 생각하는 관습을 따르고 있습니다.)

이 약속을 나사를 돌리는 것으로도 설명할 수 있습니다. 나사를 돌리면 나사가 움직입니다. 우리 주변에서 보는 일반적인 나사는 드라이버를 들고 시계방향으로 돌리면 나사가 조여집니다. 나사를 조이는 방향으로 물체가 회전하면서 나사가 움직이는데 이 나가가 움직이는(진행하는) 방향으로 회전의 방향을 표시합니다.

이게 어디서 들어본듯 하다면 전자기 시간에 오른나사의 법칙이란 말을 들어 본 분일 것입니다. 오른나사 법칙은 오른 나사에 어떤 법칙이 있다는 것이 아니라 자기장과 전류의 사이에 있는 법칙에서 자기장과 전류의 방향은 오른 나사로 생각하면 된다는 법칙입니다. 상세한 것은 관련 글을 쓰고 나면 연결해드리겠습니다. 회전하는 물체의 회전 방향을 표시하는 방법도 오른 나사를 생각하면 되고, 또는 오른손을 엄지척 하여 생각하면 됩니다.

각속도, 각가속도도 마찬가지로 축위에 화살표로 방향을 표시합니다.

위와 같이 표시하는 방법은 회전운동에서 표현하는 일반적인 방법이지만, 회전축이 고정된 회전운동에서는 어차피 회전축이 바뀌지 않기 때문에 별로 중요하지는 않습니다. 단순히 처음 정한 방향을 기준으로 +- 인가만 구분해도 충분합니다.

벡터량

각의 방향
변위, 속도, 가속도는 벡터량이란 것을 배웠습니다. 하지만, 각은 벡터량이 아닙니다. 벡터를 방향과 크기를 가진량이라고 배웠고, 각의 크기와 방향을 표현하는 방법도 배웠고, 각을 화살표로 표시하는 것을 봐서 벡터량이라고 생각하는 게 당연하지만, 각은 벡터량이 아닙니다.

>> 벡터가 방향과 크기를 가졌지만, 방향과 크기를 가진 것이 모두 벡터량은 아닙니다. 벡터란 것을 쉽게 배우기위해 방향과 크기를 가진량을 벡터라고 한다고 설명한 것이지만 정확한 정의는 아닙니다.

예제를 통해 각이란 물리량이 벡터가 아닌 결정적 증거를 보이려고 합니다. 벡터량이라면 교환 법칙을 만족해야합니다. 동쪽으로 5m 이동하고, 북쪽으로 3m 이동하는 것은 순서를 바꿔도 같은 위치에 있지만, (변위는 벡터량입니다. ) x축을 중심으로 90도 돌리고, z축을 중심으로 90돌리는 것은 순서를 바꾸면 같은 방향이 아닙니다. (각은 벡터량이 아닙니다.)

>> 아주 충격적이게도 벡터는 방향과 크기를 가졌지만, 방향과 크기를 가졌다고 벡터가 되는 것은 아닙니다. 백터의 진짜 정의는 상당히 어렵습니다. 물리에서는 탠서량이란걸 배울때 벡터의 정확한 의미를 배우게 되니 전공자가 아닌분에게는 권하지 않습니다

하지만, 각속도와 각가속도는 벡터량입니다. 순서를 바꾸어 더하여도 결과는 같습니다.

>> 각은 벡터가 아닌데, 각속도와 각가속도가 벡터라는 사실은 음… 저도 처음 들었때 도저히 이해가 안되었습니다. 지금도 사실 잘 알겠다고 느끼는 내용은 아닙니다.

변위가 벡터량이고 속도와 각가속도가 벡터량이라고 해도 등가속도 직선운동 문제(1차원 문제)를 풀때는 벡터량이란 사실이 크게 중요하지 않듯이, 축이 고정된 회전 운동에서는 각속도와 각가속도가 벡터량이란 사실이 크게 중요하지 않습니다. 그러니… 잘 이해안된다고 하더라도 일반 물리 문제 푸는 데는 크게 지장이 없을 것입니다.

각속도가 일정한 운동

축이 고정되어 회전하는 물체의 각속도가 일정한 운동은 병진운동에서는 등속직선운동에 대응합니다. 등속 직선 운동에서는 물체가 움직이는 방향이 이쪽 아니면 저쪽만 있으므로 방향을 가진 속도를 벡터로 복잡하게 생각하지 않아도 단순히 속력이란 숫자값이 양수인지 음수인지 만으로 방향을 충분히 생각할 수 있었습니다. 마찬가지로 축이 고정되어 회전하는 물체의 각속도가 일정한 운동도 벡터로 복잡하게 생각하지 않아도 단순히 각속도의 크기가 양수인지 음수인지 만으로도 충분히 방향을 생각할 수 있습니다.

세차운동(precession), 팽이 문제와 같이 회전축의 방향이 바뀌는 경우는 물론 벡터를 생각해야하는 복잡한 문제이지만, 일반물리/대학물리에서는 그 값을 정량적으로 계산하라고까지 하기에는 어려운 개념이라 문제로 내지는 않을 것입니다. 물론 교과서에서 세차운동을 잠깐 설명하기는 하는데 이런게 있다고 소개하는 것이지 모두 다 알 수 있을거라 기대하고 가르치는 내용은 아닙니다.

각가속도가 일정한 운동

병진운동에서 가속도가 일정한 운동의 경우 변위(위치), 속도, 가속도, 시간 사이에 관계를 관계식을 통해 표현 할 수 있듯이 축이 고정된 회전 운동에서도 각가속도가 일정한 운동에서 각, 각속도, 각가속도, 시간 간에 어떤 관계가 있는지 알 수 있습니다 병진운동과 똑같은 관계에 있습니다.

등가속도 직선운동이 시험 문제로 만들기 편한 예제였기 때문에 축이 고정된 회전 운동도 시험 문제로 만들기에 아주 좋습니다. 그냥 각속도, 각가속도의 개념을 알면 병진운동에서 문제 풀듯이 대응하여 풀면 됩니다. 시험 문제로 만들기 좋기 때문에 자주나올 수 있지만, 물리적으로 큰 의미있는 것은 아닙니다. ‘나는 물리를 잘 몰라’라고 겁먹은(?)/ ‘이런것은 공부하기 싫어’하고 게으른(?) 사람을 가려내는 문제입니다.

각가속도가 일정한 회전운동 – 가속도가 일정한 직선운동(병진 운동) 을 비교한 표

등가속도 직선운동	모르는 량	모르는 량	회전축이 고정된 회전
\( v = v_0+at \)	\( x-x_0 \)	\( \theta – \theta_0 \)	\(\omega = \omega_0 +\alpha t \)
\( x-x_0 = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \)	\( v \)	\( \omega \)	\( \theta-\theta_0 = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \)
\( x-x_0 = v t – \frac{1}{2}at^2 \)	\( v_0 \)	\( \omega_0 \)	\( \theta-\theta_0 = \omega t – \frac{1}{2}\alpha t^2 \)
\( x-x_0 = \frac{1}{2}(v_0 + v)t \)	\( a \)	\( \alpha \)	\( \theta-\theta_0 = \frac{1}{2}(\omega_0 + \omega)t \)
\( v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0) \)	\( t \)	\( t \)	\( \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta-\theta_0) \)

(회전축이 고정된) 회전하는 물체위의 한점의 운동

회전축이 고정된 회전운동하고 있는 물체 위의 한 점은 병진운동의 관점으로도 표현할 수 있습니다. 물체위의 한 점은 병진운동의 관점으로 보면 원운동 하고 있는 것이 보입니다. 원운동의 중심은 분명 회전축입니다. 만약에 각속도의 크기가 일정하다면 이 원운동은 속력이 일정한 [ 등속원운동 L5 ]이 될 것입니다.

각속도가 변한다면 속력이 변하는 원운동이므로 등속원운동은 아니지만 그래도 여전히 원운동임은 분명합니다. 이런 경우 부등속원운동이라고도 하더군요. 즉 큰 범위의 원운동안에 속하는 운동을 하는 것이 분명합니다. (저는 등속원운동과 부등속원운동을 모두 포함하여 [ 일반 원운동 L7 ]이라고 이름지어 설명하고 있습니다.)

그림에서 \( a_t\) ,\( a_r \) 두가지를 주의해야합니다. 가속도 \( a \)는 두개의 방향으로 각각 쪼개어 계산하였습니다. 원의 접선방향 성분을 \( a_t\) , 원의 중심 방향 성분(구심가속도라고도 합니다)을 \( a_r \)로 썼습니다. 등속 원운동인 경우 즉 \( \omega \)가 시간에 따라 변하지 않는 경우, \( a_t\) = 0 이 되지만, \( a_r \)은 0 이 되지 않습니다.

속도 \( v \) 는 왜 이렇게 구분하지 않았을까요? 속도의 방향은 항상 원의 접선 방향이기 때문입니다. 원의 중심 방향 속도\( v_r \)는 위치가 변하지 않기 때문에 항상 0 입니다.

좀 어렵죠. 미분 개념이 익숙치 않은 분들은 믿을까 말까 하는 고민을 하고 있을 것 같다는 생각이 듭니다.

정리

여기서는 축이 고정된 회전운동을 기술하는데 필요한 변수들 – 각, 각속도, 각가속도 등의 이야기를 했습니다. 각속도, 각가속도의 벡터 표현은 축이 움직이는 일반적인 회전운동을 배울 때를 대비해서 알려드리는 것입니다만 쉽지 않은 내용입니다. 축이 고정된 회전운동하는 물체위의 한점은 병진운동의 원운동을 하고 있으므로 둘 사이의 관계식도 소개해두었습니다. 아마도 원운동을 더 깊게 이해하는데 도움이 될 것입니다. 이런 변수들로 축이 고정된 회전운동을 기술할 수 있게 되었으니, 회전운동은 어떤 법칙에 따라 움직이게 되는지를 배우는게 다음 순서입니다.

일단 병진운동의 힘에 대응되는 개념으로 회전운동에는 돌림힘이란게 있습니다. 돌림힘에 대해서도 글을 써 두었습니다.