일반 원운동에서 구심가속도, 구심력

‘일반 원운동’이란 용어는 제가 만든 용어입니다. 등속 원운동이 아니더라 원운동이기만 하면 된다는 의미입니다. 어떤 곳에서는 ‘부등속 원운동’ 이란 표현을 쓰고 있는데, 제가 굳이 ‘일반 원운동’ 이라고 하는 것은 ‘등속 원운동’이든 ‘부등속 원운동’ 이든 ‘원운동’이기만 하면 성립하는 성질을 이야기하려고 하기 때문입니다. (그리고, 이 부분은 전공 물리에 가까운 내용이 들어 있습니다. 현실적으로 관련 문제들이 나오고 있기 때문에 가급적 최소화해서 썼습니다.)

등속 원운동과 일반 원운동의 비교

등속 원운동에서는 속력이 일정하다는 조건이 있는데 비해서 일반 원운동은 속력이 일정하지 않는 경우를 말합니다. 하지만, 원운동이라는 조건은 그대로 남아있습니다. 원운동이므로 반지름 r 이 일정한 궤도를 따라 움직여야 합니다.
등속 원운동에서 속도는 원의 접선 방향입니다. 일반 원운동의 속도도 원의 접선 방향이어야 합니다. 원의 중심방향으로 속도가 존재하게 되면 원이 아닌 모양이 나타납니다. 천천히 한번 생각해보세요.
각속도의 크기도 속력과 같은 관계에 있습니다. $v(t) = r \omega(t)$ 는 여전히 성립합니다.

반지름

속력

속도

각속도의 크기

가속도

등속 원운동

v 로 일정

원의 접선

$\omega$

원의
중심방향

일반 원운동

v(t)

시간 또는 위치에 따라 변함.

원의 접선

$\omega(t)$

시간 또는 위치에 따라 변함.

일반 원운동의 가속도

일반 원운동의 가속도는 어떻게 될까요?

지난번에 본 등속원운동의 가속도가 빨간 색일 때, 일반 원운동에서는 파란색입니다. 그림처럼 속력이 더 증가한 경우에는 원의 접선 방향으로 가속도가 더 생기는 것을 알 수 있습니다. 엄밀하게는 미분을 하여서 가속도를 찾아야 할 것입니다.

가속도를 원의 중심 방향 $\vec{a_r}$ 과 원의 접선 방향 $\vec{a_t}$ 로 나누어 생각해 보면, ( $\vec{a} = \vec{a_r} + \vec{a_t}$ ) 놀랍게도 (어떤 분은 당연하다고 생각하겠지만)
가속도의 원의 중심 방향 성분의 크기는
$\displaystyle a_r = \frac{v(t)^2}{r} = r \omega(t)^2$
가속도의 원의 접선 방향 성분의 크기는
$\displaystyle a_t = r \frac{d \omega(t)}{dt}$
가 됩니다.

> 일반적인 원운동에서는 접선방향으로도 가속도가 있습니다. 접선방향만 생각하는 것은 회전운동의 시작 부분( [회전에 사용되는 변수들 L7 ]의 각가속도가 일정한 운동 ) 에서 다루는데 아마도 대부분의 사람들이 지금 배우는 것과 연관있다고 상상도 못할 것 같습니다.

여전히 가속도의 원의 중심 방향 성분의 식 $\vec{a_r}$ 은 등속원운동과 같은 모양이고, 이름도 여전히 구심가속도라고 할 수 있습니다. 그리고, 질량 m 을 곱한 값을 여전히 구심력이라고 부를 수 있습니다.
가속도의 원의 접선 방향 성분의 식 $\vec{a_t}$ 은 $v(t) = r \omega(t)$ 에서 시간에 대한 미분으로 r 은 시간이 흐르더라도 변하지 않는다는 점을 생각하면 이해하기 쉬울 것 같습니다.

이 내용이 물리학 개론 수준의 주제도 아니고, 사람마다 수준이 달라서, 유도과정을 상세히 설명하지는 않습니다. 어쩌다 보니 유도과정 내용도 쓰게 되었습니다. [ (일반) 원운동 가속도 유도 L7 ] 를 참조하시면 되나 교과서 범위 밖의 내용입니다.

등속 원운동은 $v(t) = v$ 로 일정한 경우이므로
$\displaystyle a_r = \frac{v^2}{r} = r \omega^2$
$\displaystyle a_t = r \frac{d \omega(t)}{dt} = 0$
인 일반 원운동의 특수한 경우입니다.

회전운동부분을 공부하고 바라 보면 좀 더 쉽게 이해가 됩니다. 축이 고정된 회전운동의 뒷부분도 참고하시라고 링크 걸어드립니다.

일반 원운동의 예

등속원운동의 예에서 속력이 마음대로 변할 수 있다면 모두 일반 원운동 문제가 됩니다.
또한, 중력장에서 원운동과 같은 경우, 구 위에서 미끌어지는 물체에서도 …
그냥 궤도가 원운동이기만 하면 됩니다.
뿐만 아니라, 단진자도 일반 원운동의 예입니다.

이 부분의 그림이나 예제들은 다음에 기회될 때마다 추가 하겠습니다.