수직항력 - 수험생 물리

수직항력은 교과서에서 약 1/2~2/3 페이지 정도 소개하고 있습니다. 간단히 별거 아닌 것처럼 보이지만, 그렇게 조금밖에 설명을 안하니까 주의깊게 생각하지 않아 문제를 풀 때 복병이 됩니다. 쉬운듯 쉽지 않은 수직항력의 설명은 교과서의 한페이지도 안되는 곳에서 설명하는게 아니라, 문제풀이에서 설명하고 있기 때문에 곳곳에 흩어져 설명이 되어 있다고 생각해야합니다. 그래서, 흩어져 있는 내용을 여기에 한번 정리하려고 합니다.

수직항력(垂直抗力)

수직항력을 먼저 설명하면 이것은 물체가 맞닿아 있기 때문에 생기는 힘입니다. 물체가 맞닿아 있기 때문에 생기는 힘 중 또 다른 것은 마찰력입니다. 물체가 맞닿는 면의 수직 방향으로 생기는 힘이 수직항력이고, 수평 방향으로는 마찰력이 생깁니다. 수직항력의 수직(垂直)이란 이름은 맞닿는 면에서 볼 때 그렇다는 뜻입니다. ~~그리고, 항력(抗力)은 한자에서 보듯 버티는 힘입니다. 힘을 가하고 있을 때 버티는 힘입니다.~~ ~~그러니까 아무리 맞닿고 있더라도 힘을 가하지 않으면 수직항력은 없습니다.~~ 맞닿은 상태에서는 물체간에 서로 미는 힘이 생깁니다. 그러나, 그 힘의 크기는 물체의 성질, 운동 상태 등등 주어진 상황에 따라 다른 값을 가집니다. 이렇게 설명해 보았자 무슨 말인지 모르겠으니 구체적인 예를 들어 설명하겠습니다.

> 취소선을 그었습니다. 처음 취소선의 버티는 힘이란 느낌은 [ 수직항력 다시보기 L7 ] 에서처럼 자동차 아래 땅이 있는냐 종이가 있느냐의 차이를 설명할 때나 어울리는 표현 같습니다.

> 취소선 내용처럼 설명하니 마치 이 힘은 어떤 힘의 반작용력으로 생겨나는 것처럼 착각한다는 생각이 들었습니다. 그냥 물체와 물체가 가까이 가게 되면 서로 밀어내는 힘이 있습니다. 자석의 N극 N극 끼리, 자석의 S극 S극 끼리 밀어내는 힘처럼 밀어내는 힘이지만, 자석과는 달리 맞닿은 상태에서 조금이라도 떨어지게 되면 바로 사라지는 힘입니다. (맞닿다는 우리말 표현이 잘 안 와닿으시면 한자어로는 접촉입니다.) 물체가 서로 밀어 내는 힘이 없다면 세상의 모든 물체를 힘을 주어 모두 한 점에 모아 버릴 수 있게 될 것입니다. 컵을 책상위에 올린 것과 스펀지 위에 올려둔 것을 생각해 보십시오. 스펀지는 밀어내는 힘이 작은 편이라 계속 쭈그러듭니다. 상황이 바뀌면 그 값이 바뀌므로 그 힘이 어느정도 컵을 버틸 정도가 되면(= 컵이 더 이상 내려가지 않는 상황이 되면= 스펀지끼리 똘똘 뭉치게 되면) 더 이상 쭈그러들지 않습니다. 뿐만 아니라 컵도 더 이상 못 내려오도록 미는 힘이 있습니다. 스펀지를 이루는 각 부분들도 서로 밀어내는 힘이 있다는 것입니다. 서로 아주 가깝게 되면 그 힘이 커집니다. 미시적으로는 물질에서 서로 밀어내는 힘이 거시적으로 나타난 현상이 수직항력입니다. 그래서, 이번에는 수직항력을 서로 밀어내는 힘이라고 설명을 시도합니다. 이 설명이 문제가 있다고 생각되면 게시판에 글을 올려주시면 고맙겠습니다.

수직항력의 법칙

만유인력의 법칙, 쿨롱의 법칙, 훅의 법칙과 같이 이름있는 힘들은 그 법칙에 맞는 물리량을 이용하면 바로 그 힘이 얼마인지 알 수 있습니다. 그런데, 수직항력의 법칙이란 말을 들어 본적이 없지요? 그래서 알려드리려고 합니다. “외어서 풀면 언젠가는 틀릴거다.” 이게 수직항력의 법칙입니다. ㅎㅎㅎ
법칙이란 말들이 들어간 것들은 언제든지 그 법칙에 관한대로 적용할 수 있지만, 수직항력 그 때 그때 상황에 따라 다릅니다. 그래서 법칙이 없습니다. 상황에 따라 찾아내야되는게 수직항력입니다. 그러니까 설명도 단순하고, 주로 문제풀이에서 설명합니다. 우리도 각종 문제상황을 보면서 찾아내 보겠습니다.

중학교 과학시간 때부터 보던 그림입니다. 중력이 있는 곳에서 책상 위에 물체가 놓여 있을 때, 수직항력은 얼마인가?

수직항력은 중력때문에 생기는 힘이 아닙니다.

“중력이 mg 니까 수직항력 N 의 크기는 mg. 뭐 이렇게 쉬운 것을….” 이라고 생각하시겠지만, 수직항력은 그렇게 구하는게 아닙니다.
수직항력은 중력때문에 생기는 힘이 아닙니다. “물체가 맞닿아 있기 때문에 생기는 힘” 입니다. 중력이 mg 이기 때문에 물체는 책상 아래 방향으로 힘을 받아 움직여야겠지만, 책상이 물체에 버티는 힘 “항력”이 물체에 가하고 있어 위아래로는 움직이지 않는 것입니다. 그리고, 그 방향이 맞닿아 있는 면의 수직이기 때문에 “수직항력”이라고 하는 것이고, 수직항력 N 의 크기는 모릅니다.

수직항력 크기는 알짜힘과 맞닿아 있는 상태의 운동상태를 고려해서 구합니다.

이 그림에서는 물체가 맞닿아 있고, 맞닿아 있는 면의 수직방향으로는 위치변화가 없습니다. 위치가 변하지 않으므로, 속력이 없고, 가속도가 없습니다. 그러니까, 알짜힘의 맞닿아 있는 면의 수직방향 성분은 N – mg 가 되고 가속도가 0 이니까 N – mg = 0 이 됩니다. 그래서, N = mg 가 됩니다.

이렇게 구하셨습니까? 그럼 다행입니다. 그렇게 구하지 않은 분들은 다음 문제를 틀리게 됩니다.

마찰이 있는 벽에 수평방향으로 F의 힘을 주어 잠깐 물체를 떨어지지 않게 해두려고 합니다. 수직항력은 얼마인가?

중력이 mg 라고해도 여기서는 전혀 수직항력과 상관이 없습니다. 중력이 있더라도 물체가 벽면을 누르는 힘과는 아무 상관이 없습니다. 물체가 벽면에 맞닿게 하는 것은 힘 F 때문입니다. 벽은 물체에 힘 F 에 버티는 힘을 냅니다. 그게 수직항력입니다. 벽이 물체를 미는 수직항력을 N 이라고 하면, 사람이 오른쪽으로 가하는 힘이 F 와 수직항력 N에 따른 운동상태를 살펴보아야 합니다. 좌우로 미치는 힘은 F와 N 밖에 없는데, 좌우로는 움직임이 없습니다. 좌우로는 속력이 0 입니다. 가속도도 0입니다. 그래서, 좌우 방향의 힘을 합친 알짜힘의 좌우방향 성분은 N – F = 0 (또는 F-N=0) 이 되고 N = F 가 됩니다.

( 중력 mg 가 남아서 아래로 떨어져야 합니다. 그래서, 마찰력이 있는 벽면이라고 했습니다. 정지마찰력이 $\mu N$ ( $\mu$ 는 정지마찰계수)이 mg 와 같기 때문에 정지할 수 있습니다. 물체는 $\mu N = mg$ 도 만족해야하므로 $F = mg/\mu$ 가 되도록 힘을 주어야 합니다.

===> 오랜만에 다시 읽어 보니 이 부분이 명백히 틀렸습니다. 글쓸때 제정신이 아니었나 봅니다. 무엇이 틀렸는지 모르겠다싶으시면 [정지마찰력]를 읽어보시고 어디가 틀렸는지 찾아보세요. 나중에 정확히 고쳐놓겠습니다.)

수직항력의 수직은 접촉한 면에 대해 수직을 말합니다.

위에 그림에서 보듯, 수직항력은 우리가 살고 있는 공간에서 아래 위 (연직방향이라고 하더군요) 가 아니라, 접촉한 면에 대해 수직인 방향을 말하는 것입니다.

지금까지 살펴본 것을 정리해보면,
수직항력은 중력 때문에 생기는 힘이 아니라서 F = mg 라고 외어서는 될 것이 아니고, 그 크기도 알짜힘을 고려해서 구해내는 것이라고 했습니다. 그런데, 항상 우리가 보는 문제가 대부분 중력때문에 수직항력이 생기는 상황이 많기 때문에 아무리 제가 강조해도 습관이 되어 까먹습니다. 또한, 알짜힘과 운동상태를 고려해서 계산해야하는데, 보통은 평형이라서 복잡한 계산할 필요없는 경우가 많기 때문에 그것도 까먹습니다. 그러니까, 습관적으로 수직항력값을 사용하다가 결국 문제를 틀리는 일이 벌어집니다.

결정적 차이!!

경사면 문제 1) 마찰이 있는 경사면에 물체가 놓여있을 때

경사면 문제 2) 마찰이 없는 경사진 원형 트랙을 자동차가 원운동하고 있을 때.

두 문제를 비교하면 습관이 얼마나 무서운 것인지 알 수 있습니다.
그림을 보니 둘 다 수직항력 $N = mg \cos \theta$ 라고 하고 싶으시죠.

그러나,

경사면 문제 1)은 물체에 미치는 힘이 평형을 이루고 있어 수직항력 $N = mg \cos \theta$ (마찰력 $F = mg \sin\theta$ ) 을 이용해서
$N = mg \cos \theta$
입니다.

경사면 문제 2)는 마찰력은 없고 오로지 수직항력과 중력의 알짜힘이 원운동의 구심력이고 연직방향으로는 가속도가 없기 때문에 $N \cos \theta = mg$ 가 되고, 수직항력의 크기 $N = mg / \cos \theta$ 가 됩니다.

( $N \sin \theta$ 가 구심력이 됩니다. 트랙의 중심방향으로는 가속도가 있습니다.)

조심 또 조심하십시오.

이렇게 글을 남기는 것도 저도 위의 경사면 2번 문제를 잘못 풀어서 ‘왜 틀렸지..’ 생각해보니 ‘아~ 잘못했네..’했던 문제입니다. 또한 어느 선택형 기출문제 풀이를 쓰다가 ‘어~ 이 문제는 답이 없네’ 했던 일도 있습니다. 출제자도 착각했던 겁니다. 정답도 잘못 공표되어 있더군요.

여러분도 언제든지 실수할 수 있는 문제입니다. 수직항력의 법칙은 “외어서 풀지 마시고, 조심 또 조심하십시오.” 입니다.

보충 : 댓글 질문에 답을 하다보니 보충이 필요한 것 같습니다.

“물체가 맞닿아 있기 때문에 생기는 힘” 입니다란 표현에 대해서 추가 설명합니다. 댓글에 수직항력이 물체가 벽을 누르는 힘의 반작용으로 생겨나는가라고 질문해주셨는데, 작용,반작용의 힘이 같이 생겨나지만 서로 원인과 결과 관계는 아닙니다.

엄밀히 말하자면 수직항력은 물체가 맞닿은 상태를 벗어나면 0이 되고, 맞닿은 상태라고 말할 만큼 가까이 가면 금방 크기가 커지는 힘입니다. 앞에서 생겨난다는 표현은 학문적, 물리적 표현은 아닙니다. 생겨난다는 표현 자체가 부적절하다는 생각이 들어서 좀 더 적절한 표현을 찾자면 물체가 맞닿은 상태에는 물체가 벽을 누르는 힘과 수직항력(벽이 물체를 누르는 힘)이 같이 나타납니다. 좀 떨어지게 되면 같이 없어지게 됩니다.

사람들이 엄밀히 ‘수직항력의 원인은 중력이다’라고 표현하지 않고 일상용어로서 ‘수직항력이 중력때문에 생긴다.’라고 표현하니 여기에 따라 글을 쓰다보니 이렇게 되었습니다.

뿐만 아니라, 물체가 벽을 누른 힘 또한 수직항력입니다.

벽에 물체를 두고 사람 손으로 물체를 누르게 되면, 1)물체가 벽을 미는 힘과 2)벽이 물체를 미는 힘이 작용-반작용의 관계에 놓이게 되고, 3)사람 손이 물체를 누르는 힘과 4)물체가 사람 손을 누르는 힘이 작용-반작용의 관계가 됩니다. 그리고, 1),2),3),4) 모두 수직항력이라고 할 수 있습니다.

누구를 기준으로 보는가에 따라 관심을 가지는 수직항력이 다를 뿐입니다. 위 문제에서는 물체를 기준으로 볼 때, 3)사람이 물체를 누르는 힘 에 대해서 2)벽이 물체를 누르는(미는) 힘이 궁금해서 2)을 특히나 수직항력이라고 불렀지만,

2)의 힘에 대해서 3)이 수직항력이 될 수도 있습니다. 벽을 기준으로는 4)번이 관심을 가지게 되는 수직항력이 될 수도 있고, 사람을 기준으로는 1)이 관심을 가지는 수직항력이 될 수도 있습니다.

> 작용과 반작용에 대한 글[작용과 반작용의 법칙 L7 ] 을 추가했습니다. 그림없이 글만 있어서 지루하긴 합니다.