(일반) 원운동의 가속도 유도

이 글은 일반적인 원운동의 가속도 유도하는 것으로 접선 가속도, 구심 가속도(법선방향)를 모두 구하는 내용입니다. 등속원운동의 가속도 즉, 구심가속도를 구하는 법을 궁금해서 찾아 오셨다면 [등속원운동 구심가속도 유도 L5 ] 를 보십시오.

일반적인 원운동은 [일반원운동에서 구심가속도, 구심력 L7 ] 에서 설명하고 있습니다.

부등속 원운동에서 구심가속도 관계식을 유도하는 법을 궁금해 하는 분이 있어 올립니다.
여러 방법이 있겠지만, 고등학교 물리2 정도의 수학 실력으로 해결할 수 있도록 직교좌표계(Cartesian Coordinate) 를 이용했습니다.

물체가 x,y 평면에 있고, 원점(0,0)을 중심으로 원운동하고 있다.

물체의 위치는 (x,y)는 (0,0)에서 거리 r 만큼 떨어져 있으므로 $x^2 + y^2 = r^2$ 을 만족하며,
물체의 위치 $\vec{r}$ 의 x,y 축의 성분 (x,y) = ( $r \cos \theta(t)$ , $r \sin \theta(t)$ ) 가 된다.

물체의 속도 $\vec{v} =\frac{ d\vec{r} }{dt}$ 는
( $r \frac{d \cos \theta(t)}{dt}$ , $r \frac{d \sin \theta(t)}{dt}$ ) =
( $- r \sin \theta(t) \frac {d \theta (t) }{dt}$ , $r \cos \theta(t) \frac{d \theta (t) }{dt})$
$\frac{d\theta(t)}{dt} = \omega(t)$ 라고 하면
( $- r \sin \theta(t) \omega(t)$ , $r \cos \theta(t) \omega(t)$ ) 로도 쓸 수 있다.
크기는 $r \omega(t)$ , 방향은 ( $- \sin \theta(t)$ , $\cos \theta(t)$ ) 로 원의 접선 방향.

물체의 가속도 $\vec{a} = \frac{ d\vec{v} }{dt}$ 는
( $- r \frac{d \sin \theta(t) \omega(t) }{dt}$ , $r \frac{d \cos \theta(t) \omega(t)}{dt}$ ) r은 시간이 변하더라도 일정.
=( $- r ( \frac{d \sin \theta(t)}{dt} \omega(t) + \sin \theta(t) \frac{d \omega(t)}{dt} )$ , $r ( \frac{d \cos \theta(t)} {dt} \omega(t) + \cos \theta(t) \frac{d \omega(t)}{dt} )$ )
= ( $- r \frac{d \sin \theta(t) }{dt} \omega(t)$ , $r \frac{d \cos \theta(t)}{dt} \omega(t)$ )
+ ( $-r \sin \theta(t) \frac{d \omega(t)}{dt}$ , $r \cos \theta(t) \frac{d \omega(t)}{dt}$ ) 로 나누어 쓸 수 있다.

앞의 성분
( $- r \frac{d \sin \theta(t)}{dt} \omega(t)$ , $r \frac{d \cos \theta(t)}{dt}\omega(t)$ )
= ( $- r \cos \theta(t) \frac{d \theta (t)}{dt} \omega(t)$ ,
$- r\sin\theta(t) \frac{d \theta (t)}{dt} \omega(t)$ )
= ( $- r \cos \theta(t) \omega(t)^2$ , $- r \sin \theta(t) \omega(t)^2$ )
크기는 $r \omega(t)^2$ , 방향은 ( $- \cos \theta(t)$ , $- \sin \theta(t)$ ) 로 원의 중심방향. 그래서, 구심가속도라고 한다.

뒤의 성분
( $-r \sin \theta(t) \frac{d \omega(t)}{dt}$ , $r \cos \theta(t) \frac{d \omega(t)}{dt}$ )
크기는 $r \frac{d \omega(t)}{dt}$ , 방향은 ( $- \sin \theta(t)$ , $\cos \theta(t)$ ) 로 물체의 속도와 같은 방향 (원의 접선).

접선가속도라고도 하더군요.

등속원운동이라면

위에서 속력이 일정한 조건, 즉, 등속원운동이라면 $\omega(t) = \omega$ 로 일정.
물체의 속도는 ( $- r \omega \sin \theta(t)$ , $- r \omega \cos \theta(t)$ )
물체의 속도의 크기(속력)은 $r \omega$ 방향은 ( $- \sin \theta(t)$ , $\cos \theta(t)$ ) 으로 원의 접선방향.
물체의 가속도는 $\frac{\omega(t)}{dt} = 0$ 이므로,
앞의 성분은 ( $- r \cos \theta(t) \omega^2$ , $- r sin \theta(t) \omega^2$ ),
뒤의 성분은 0