등속원운동에서 구심가속도 유도

> 구심가속도 값을 구하는 것은 다른 곳에서 자료를 찾아보라고 했지만,
제가 찾아보니 마음에 드는게 없었습니다. 게다가 제가 일반 원운동의 구심가속도 크기를 구하는 법에 걸어둔 링크를 자꾸 클릭해서 조회수가 올라가서 급히 이 글을 쓰게 되었습니다. 물론 구글 검색 1등에서 2등으로 밀려난게 더 큰 이유입니다. 많은 분들이 구심가속도 유도를 검색하시더군요.

등속원운동의 구심가속도 크기를 구하는 방법을 크게 두 가지로 설명 드립니다. 하나는 기하학적인 방법이고 하나는 해석학적 방법입니다. 쉽게 말해 그림으로 구하는 것과 수식을 풀어서 설명하는 것입니다.
그럼, 그림으로 설명을 먼저 합니다.

> 당연히 [등속원운동과 구심력, 구심가속도 L5 ]에 대해서 잘 알고 있다고 가정하고 있습니다.

평균 속력

>모든 것을 다 까먹었다고 가정하고 설명하겠습니다. 아는 이야기가 나와도 참아주세요.

중학교때 접선을 배웠는데 기억나시나요?

원에서 두 점을 지나는 선을 살펴볼 때 두 점이 점점 가까워지면 결국 한점에서 만나고 이 선을 접선이라고 한다는 거….

평균속력을 중학교때 배웠지만 ( [운동의 기술 기초 L1 ]참조)

다 까먹었으니까 다시 한번 살펴 보지요.

어떤 물체가 등속원운동한다고 합시다. 여기서 등속은 속력이 일정하다는 것입니다. 즉 빠르기가 일정합니다.

그림에서와 같이 어느 두 순간의 평균속력을 구하라고 하면 (두 지점 사이를 이동한 거리)를 (이동하는데 걸린 시간)으로 나누어 주는 것입니다. 따라서, 호의 길이를 이동하는데 걸린 시간으로 나누어 줍니다.
그림과 같은 경우에는 시간을 잘 알 수 없으므로 한바퀴도는데 \( T \)만큼의 시간이 걸린다고 합시다.
그러면 이동거리는 호의 길이이므로 \( r \theta \) 걸린 시간은 \( \frac{\theta}{2 \pi} T \) 일 것입니다. (각도의 비례관계로 찾으면 됩니다.) 거리를 시간으로 나누어준 \( \frac{2 \pi r}{T} \) 이 평균 속력입니다. 다시 쓰기 귀찮으므로 \( v \) 라고 합시다.

> 각도 \(\theta\)는 물론 호도법(radian)을 썼습니다.

수식을 다시 천천히 생각해 보면 원을 한 바퀴 돌 때 거린 거리= 원의 둘레 \( 2 \pi r\) 를 원을 한바퀴 돌때 걸린 시간 \( T \) 로 나누어 준 것입니다. 속력이 바뀌지 않는 운동이므로 앞에서 처럼 복잡하게 계산할 게 아니라 지금 처럼 간단하게 계산하는게 훨씬 쉽지요.

그리고, 한바퀴돌고 나면 다음 바퀴는 처음 한바퀴돌때와 똑같은 운동을 하고 있습니다. 이런 것을 주기적인 운동이라고 하지고, 시간이 \(T\) 마다 반복되는 주기 운동입니다.
그 다음 각속도란 개념이 있습니다. 속도, 속력이 일정한 시간 동안 얼마의 거리가 변하는 가에 관심이 있다면 각속도는 일정 시간동안 얼마의 각이 변하는 가에 관심을 가질때 쓰는 개념입니다.

> 각을 표현하는 단위는 라디안을 쓰는게 기본입니다.
> 회전운동을 배울때 [회전에 사용되는 변수들 L7 ] 로 다시 배우게 됩니다.

그럼 등속원운동의 경우는 일정시간 T 동안 \(2 \pi \) 만큼 움직이므로 각속도는 각을 시간으로 나누어준 \(\frac{2 \pi}{T}\)가 됩니다. 속력을 \(v\) 라고 하듯, 각속도도 기호로 표시할 수 있는데 보통 \( \omega\) 를 잘 씁니다.

> 여기서는 각속력이라고 하는게 나을 것 같은데 이상하게도 한번도 각속력이란 말을 들어 본적이 없어서 그냥 각속도라고 하겠습니다.

그러면 평균 속력 \( v \) 는 \(r \omega\)가 됩니다.

각속도란 개념이 처음 나와 익숙하지 않은 분을 위해 다시 천천히 따져 보면

위의 그림 처럼 \( t \) 란 시간동안에 각이 \(\theta\) 변하면 호의 길이는 \( r \theta\)가 변합니다.

등속원운동이므로 각의 변화(빠르기)인 각속도는 \(\omega\) 로 일정하고 길이의 변화(빠르기)는 \(v\) 로 일정합니다.

그 값을 구해보면 각속도 \( \omega = \frac{\theta}{t} \) 가 되고 \( v = \frac{r \theta}{t}\)가 됩니다.

한바퀴 도는 데 걸린 시간이 T라고 하면 각은 \(2\pi\) 만큼 변하고 길이는 \( r 2 \pi \) 만큼 변하며

여전히 각속도는 \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) 이고 길이의 변화 즉 속력은 \( \frac{2\pi r}{T} \) 입니다.

그러니까 각과 호의 길이 간에는 서로 r을 곱하고 나누는 관계입니다.

\(v = r \omega\) 인 관계입니다.

평균 속도

> 속력과 속도는 구분하실 수 있으시지요? 다음 내용을 읽어 보다가 자신의 없으면 [운동의 기술 기본 L3 ]을 보시고 난 다음 다시 읽어 보시기를 …

이제는 등속원운동에서 평균 속도를 구해 봅시다.

이제는 평균 속도를 구하려고 하는데, 원운동은 2차원 평면에서 일어나는 일이기 때문에 직선에서 움직이는 식으로 생각하면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다.

그림에서 보듯, 호를 이동하는 것으로 생각하는 것이 아니라 현을 생각해야 합니다.
왼쪽의 검은 화살표는 두 순간의 변위를 표시한 것입니다. 물론 크기를 구할 수는 있겠지만, 복잡하므로 생략하겠습니다.

> 변위가 무엇인지 잊어 버렸다면 [운동의 기술 L5 ] 참조

평균속도를 구하라고 하면 이 변위를 (이동하는 데 걸린 시간)으로 나누어 주는 것입니다.
그값이 얼마인지 알 수 없으므로 오른쪽 녹색 화살표와 같이 됩니다. 물론 길이가 더 짧을 수도 길수도 있지만 편의상 길게 그린 것입니다. 방향은 검은색 화살표와 같습니다.

> 검은색 화살표와 녹색화살표는 서로 다른 차원의 물리량이므로 둘사이의 길이를 비교하는 것은 아무런 의미가 없습니다.

왼쪽은 변위, 오른쪽은 평균 속도를 화살표로 표시한 것입니다.

위쪽 그림 보다 아래쪽 그림은 이동하는 데 걸린 시간이 더욱 줄어 들었습니다. 그렇다면 왼쪽 검은색 화살표 길이가 짧아집니다. 하지만, 걸린 시간도 짧아지기 때문에 오른쪽 화살표의 길이가 많이 짧아지는 것은 아닙니다.
검은색 화살표(변위)의 길이가 바뀐 정도가 시간과 정비례하는 것은 아니므로 똑같지는 않을 것입니다. \( v_1 \neq v_2\)

> 검은색 화살표의 길이 (현의 길이)를 구하려면 복잡해서… 계산하기가 싫어요… 누가 대신좀 계산 해주면 고맙겠군요..

(순간) 속도

이제 어느 한 점, 어느 한 시각의 순간적인 속도를 구해 봅시다. 우리가 보통 속도라고 하면 바로 순간속도를 말하는 것입니다. 그러니까 순간이란 말은 처음 배울 때만 쓰는 말입니다.

먼저 위의 경우보다 더 짧은 시간의 평균 속도를 생각해 봅시다.

이제는 아주 짭아져서 두선으로 그리던 반지름이 결국 하나가 되어 버렸습니다.

그러면 왼쪽 화살표길이는 0 이 되겠지만, 위에서와 마찬가지로 오른쪽 녹색 화살표는 어느정도 길이를 가지고 있을 것입니다.

> \( v_1 \neq v_2\) 이야기를 한 이유는 순간이 되면 변위가 0 이 되더라도 속도는 0 이 되지 않는다는 이야기를 하기 위함이었습니다.

즉 속도의 크기는 어떤 값을 가지고 있을 것입니다. 이 속도의 크기는 절대 변하지 않는 등속원운동이라고 했으므로, 일정할 것입니다.

순간 속도의 크기를 보통 순간 속력이라고 합니다. 물론 처음 배울때에만 순간이란 말을 쓰지 나중에는 쓰지 않습니다. 순간 속도의 크기 즉 순간 속력이 변하지 않는 특성 때문에 이것은 평균 속력과 값이 같겠군요. 따라서, 속력은 위에서 말한 \(v\)가 됩니다.
물론 각속도로 표현하면 \( v = r \omega \)입니다.

속도는 방향을 가진 벡터량이므로 방향도 생각해야합니다. 그림에서 보는 그 방향입니다. 말로 표현하면 접선 방향입니다. 원의 중심방향과는 직각을 이루고 있습니다.
> 접선이란 말을 쓰기 위해 처음에 중학교 수학 이야기를 잠시 했습니다.

(구심) 가속도

이제 가속도를 구해 봅시다. 이게 원운동일 때는 특별히 구심 가속도라고 한다고 이름지었지만 뭔가 특별한 것은 아니라는 것을 한 번 더 강조 합니다.

> [등속원운동과 구심력, 구심가속도 L5 ]

(속도) 속도를 표시하던 화살표를 모두 하나의 점으로 모으면 오른쪽 그림 처럼 됩니다.

> 벡터량은 화살표와 달리 시작점, 끝점이란 개념이 없습니다. 위치를 바꾸어도 상관없는 양입니다.

화살표의 그 끝이 운동하는 것도 원운동하는 것과 똑같이 생각하면 가속도 문제를 풀 수 있겠네요. 위치의 변화를 시간으로 나누어준 것이 속도이듯이 속도의 변화를 시간으로 나누어 준것이 가속도이기 때문입니다.
그렇다면 똑같은 방식으로 아래 그림과 같은 결과를 얻게 됩니다.

물론 이번에는 가속도를 빨간색으로 그렸고, 길이는 짧게 그렸습니다. 앞에서 말한 것처럼 그 길이는 짧을 수도 길수도 있습니다. 아무런 의미는 없습니다. 그 길이는 가속도의 크기에 맞게 그리면 됩니다.

여기에 반대하시는 분 아무도 없으시죠?

그럼 그 가속도의 크기는 어떻게 구할까요? 바로 위 그림과 아래 그림은 크기는 다르지만 닮은 도형이란 점을 이용하면 됩니다.
걸린 시간은 똑같기 때문에 위 그림의 r과 v 의 관계는 아래 그림의 v와 a 와 관계와 같습니다.
따라서, r:v = v: a 입니다.
이것은 초딩 수학입니다. \( a = \frac{v^2}{r} \)이 됩니다.

그럼 방향은 어떻게 될까요? 그림에서 보는 그 방향입니다. 말로 표현하면 어떻게 되나요?

잘 표현하기 힘들다면 아래 그림을 보시지요.

원의 중심방향입니다.

그래서, 이 가속도를 특별히 이름 짓기를 구심가속도라고 합니다. 구심은 원의 중심을 향한 방향이란 뜻입니다.

이렇게 구심가속도의 크기를 구할 수 있습니다.

물론 각속도로 표현하면 즉, v 를 쓰지 않으면 \( a = r \omega ^2 \) 입니다. \(v\) 자리를 위에서 얻은 수식 \( v = r \omega\) 로 바꾸어 준것입니다.

이렇게 대입하기도 싫다면 이렇게 생각하면 더 쉽습니다.
원운동에서 속력값은 반지름 \(r\)에 \(\omega \) 를 곱해서 구할 수 있었습니다. 위의 닮은 도형의 관계를 생각하면 가속도 값은 속력에 \( \omega \) 를 곱해주면 됩니다. 즉 \( r \) 에 \( \omega \) 를 한번 곱하니 속도의 크기 (즉 길이의 순간 변화값) 또 한번 곱하면 가속도의 크기 (즉 속도의 순간 변화값).

> 제발 수식을 외우려 하지말고 물리현상에서 나타나는 의미를 파악하시기를 …

해석학적으로 구하기

> 그림 그리고 설명을 길게 하느라 시간을 많이 소모했습니다. 뿐만 아니라 여러분이 해석학적으로 접근하는 것을 좋아하지 않을 것이므로 설명은 단순화 하고 과정만 쓰겠습니다.

원의 중심을 원점으로 삼은 좌표계에서

원운동하는 물체의 위치를 벡터 (\( x\), \(y\) ) 라고 하면 이것은 (\( r \cos \theta \), \( r \sin \theta\))

속도는 위치의 미분 (\( dx / dt \), \(dy / dt \))

즉 ( \(- r \sin \theta d\theta /dt\),\( r \cos \theta d\theta / dt\) )

\( d\theta / dt \) 가 바로 각속도 \(\omega\) 로 일정하므로

( \( – r \omega \sin \theta \),\( r \omega\cos \theta \) )

크기는 \( r \omega \) <– 벡터의 크기 구하는 법을 잘 안다고 가정.

방향은 위치벡터에 수직. <– 위치 벡터와 속도 벡터의 내적값을 구해보면 0 이므로 서로 수직임이 확실.

가속도는 속도의 미분이므로

미분한 값은 ( \( – r \omega \cos \theta d\theta / dt \) , \( – r \omega \sin \theta d\theta / dt \) )

즉 , ( \( – r \omega ^2 \cos \theta \) , \( – r \omega^2 \sin \theta \) )

크기는 \( r \omega ^2 \) <– 벡터의 크기 구하는 법을 잘 안다고 가정.

방향은 원의 중심 방향. <– 위에서 구한 값이 ( \( – \omega ^2 x \) , \( – \omega^2 y \) ) 즉 위치벡터에 – 를 곱한값이므로

해석학으로 구한 속도,가속도의 결론은 앞에서 기하학적으로 구한 것과 동일.!!

다른 글 광고

고등학교 물리라면 여기까지가 끝이지만, 대학 물리는 그 다음 내용도 있습니다.

여기서 구한 값은 일반적인 원운동에서 구심가속도라고 말하는 것과 같습니다. 다른 것이 있다면 일반적인 원운동에서 \(\omega\)값이 시간에 따라 변하지만, 등속 원운동에선 시간에 따라 변하지 않는 일정한 값이란 차이가 있습니다. 그래서 일반적인 원운동의 구심가속도 구하는 것보다 훨씬 수식이 간단합니다.

> 일반적인 원운동에 대해서는 [일반 원운동에서 구심력, 구심가속도 L7 ]
를 참조하십시오.